Условие: есть прямоугольный треугольник АВС, где угол А равен 90 градусам, длина стороны АВ составляет 20 см, а высота АД равна 12 см. Как можно определить длину стороны АС и значение косинуса угла C?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник угол А длина стороны АВ высота АД длина стороны АС косинус угла C геометрия 8 класс Новый

Для решения задачи начнем с определения длины стороны АС в прямоугольном треугольнике ABC, где угол A равен 90 градусам.

В нашем случае:

• Сторона AB = 20 см (катет).
• Высота AD = 12 см (высота, опущенная из вершины A на сторону BC).

Сначала найдем длину стороны BC. Поскольку AD является высотой, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами:

• 1. Через основание BC и высоту AD: Площадь = 0.5 * BC * AD
• 2. Через катеты AB и AC: Площадь = 0.5 * AB * AC

Таким образом, мы можем приравнять эти два выражения:

1. 0.5 * BC * 12 = 0.5 * 20 * AC
2. Сократим 0.5:
3. BC * 12 = 20 * AC

Теперь выразим BC через AC:

1. BC = (20 * AC) / 12

Теперь мы знаем, что в прямоугольном треугольнике ABC выполняется теорема Пифагора:

AB² + AC² = BC²

Подставим известные значения и выражение для BC:

1. 20² + AC² = ((20 * AC) / 12)²
2. 400 + AC² = (400 * AC²) / 144

Теперь умножим все на 144, чтобы избавиться от дроби:

1. 144 * 400 + 144 * AC² = 400 * AC²
2. 57600 + 144 * AC² = 400 * AC²

Переносим все члены с AC² в одну сторону:

1. 57600 = 400 * AC² - 144 * AC²
2. 57600 = 256 * AC²

Теперь делим обе стороны на 256:

1. AC² = 57600 / 256
2. AC² = 225
3. AC = √225 = 15 см

Теперь мы нашли длину стороны AC, которая равна 15 см.

Теперь давайте найдем значение косинуса угла C. В прямоугольном треугольнике косинус угла C можно найти по формуле:

cos(C) = соседний катет / гипотенуза

В нашем случае:

• Соседний катет (AB) = 20 см
• Гипотенуза (BC) = √(AB² + AC²) = √(20² + 15²) = √(400 + 225) = √625 = 25 см

Теперь подставим значения в формулу:

1. cos(C) = 20 / 25 = 0.8

Таким образом, мы получили:

• Длина стороны AC = 15 см
• Косинус угла C = 0.8