В геометрической прогрессии разница между третьим и вторым членами составляет 9, а разница между четвёртым и третьим членами равна 18. Как можно определить первый член и знаменатель этой прогрессии?

Геометрия 8 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия первый член знаменатель разница членов задача по геометрии решение задачи свойства прогрессии математические уравнения Новый

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q. Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:

• Первый член: a
• Второй член: a * q
• Третий член: a * q^2
• Четвёртый член: a * q^3

Теперь мы можем записать условия задачи:

• Разница между третьим и вторым членами: a * q^2 - a * q = 9
• Разница между четвёртым и третьим членами: a * q^3 - a * q^2 = 18

Теперь упростим каждое из этих уравнений:

1. Первое уравнение: a * q^2 - a * q = a * (q^2 - q) = 9
2. Второе уравнение: a * q^3 - a * q^2 = a * (q^3 - q^2) = 18

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1) a * (q^2 - q) = 9
• 2) a * (q^3 - q^2) = 18

Теперь выразим a из первого уравнения:

a = 9 / (q^2 - q)

Подставим это значение во второе уравнение:

(9 / (q^2 - q)) * (q^3 - q^2) = 18

Умножим обе стороны на (q^2 - q) для упрощения:

9 * (q^3 - q^2) = 18 * (q^2 - q)

Теперь упростим это уравнение:

9q^3 - 9q^2 = 18q^2 - 18q

Переносим все члены в одну сторону:

9q^3 - 27q^2 + 18q = 0

Теперь можем вынести общий множитель:

9q(q^2 - 3q + 2) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных случая:

• 9q = 0 (что невозможно, так как q не может быть равным 0)
• q^2 - 3q + 2 = 0

Решим квадратное уравнение:

(q - 1)(q - 2) = 0

Таким образом, q = 1 или q = 2.

Теперь подставим значения q обратно в уравнение для a:

• Если q = 1: a * (1^2 - 1) = 9 (не подходит, так как это уравнение не имеет смысла)
• Если q = 2: a * (2^2 - 2) = 9
  a * (4 - 2) = 9
  2a = 9
  a = 4.5

Таким образом, первый член прогрессии a = 4.5, а знаменатель q = 2.

Итак, ответ: первый член прогрессии равен 4.5, а знаменатель равен 2.