В одном из углов прямоугольного треугольника угол равен 60 °, а разница между гипотенузой и меньшим катетом составляет 15 см. Как можно определить длину гипотенузы?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники угол 60 градусов прямоугольный треугольник гипотенуза катет разница 15 см длина гипотенузы Новый

Для решения задачи нам нужно использовать свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические функции. Давайте обозначим:

• гипотенузу - H,
• меньший катет - a,
• больший катет - b.

Согласно условию задачи, угол в одном из углов прямоугольного треугольника равен 60°. В этом треугольнике мы можем воспользоваться свойствами синуса и косинуса:

• Синус угла 60° равен корень из 3 делённый на 2: sin(60°) = √3/2.
• Косинус угла 60° равен 1/2: cos(60°) = 1/2.

По определению, для данного треугольника мы можем записать:

• sin(60°) = a / H,
• cos(60°) = b / H.

Теперь, используя эти соотношения, можно выразить катеты через гипотенузу:

• a = H * sin(60°) = H * (√3/2),
• b = H * cos(60°) = H * (1/2).

Теперь нам известно, что разница между гипотенузой и меньшим катетом составляет 15 см. Это можно записать в виде уравнения:

H - a = 15.

Подставим выражение для a:

H - (H * (√3/2)) = 15.

Теперь упростим это уравнение:

H * (1 - √3/2) = 15.

Чтобы решить это уравнение, сначала найдем значение (1 - √3/2). Для этого переведем 1 в дробь с общим знаменателем:

(2/2 - √3/2) = (2 - √3) / 2.

Теперь подставим это значение в уравнение:

H * ((2 - √3) / 2) = 15.

Умножим обе стороны на 2:

H * (2 - √3) = 30.

Теперь выразим H:

H = 30 / (2 - √3).

Осталось только вычислить это значение. Для этого можно воспользоваться калькулятором или оставить ответ в таком виде, если точное значение не требуется.

Таким образом, длина гипотенузы H равна 30 / (2 - √3) см.