В окружность вписан правильный треугольник, а вокруг этой окружности описан другой правильный треугольник. Каковы соотношения между периметрами и площадями этих треугольников? Пожалуйста, приведите решение.

Геометрия 8 класс Вписанные и описанные фигуры правильный треугольник окружность периметр площадь соотношения геометрия 8 класс Новый

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом, чтобы понять соотношения между периметрами и площадями вписанного и описанного правильных треугольников.

1. Определим размеры треугольников:

• Пусть радиус окружности, в которую вписан правильный треугольник, равен R.
• Обозначим сторону вписанного треугольника как a.
• Согласно свойствам правильного треугольника, радиус вписанной окружности (r) равен r = a / (2√3).
• Так как радиус окружности равен R, мы можем выразить сторону треугольника через радиус R: a = 2R√3.

2. Найдем периметры треугольников:

• Периметр вписанного треугольника P1 равен 3a = 3(2R√3) = 6R√3.
• Теперь найдем сторону описанного треугольника. Сторона описанного треугольника (A) равна A = R * √3.
• Периметр описанного треугольника P2 равен 3A = 3(R * √3) = 3R√3.

3. Найдем площади треугольников:

• Площадь вписанного треугольника S1 можно найти по формуле S = (a^2√3) / 4. Подставляя a = 2R√3, получаем:
1. S1 = ((2R√3)^2 * √3) / 4 = (4R^2 * 3 * √3) / 4 = 3R^2√3.
• Теперь найдем площадь описанного треугольника S2. Площадь описанного треугольника равна S2 = (A^2√3) / 4, где A = R * √3:
1. S2 = ((R√3)^2 * √3) / 4 = (3R^2 * √3) / 4.

4. Сравним периметры и площади:

• Периметры: P1 = 6R√3 и P2 = 3R√3. Таким образом, P1 / P2 = (6R√3) / (3R√3) = 2. Это означает, что периметр вписанного треугольника в 2 раза больше периметра описанного.
• Площади: S1 = 3R^2√3 и S2 = (3R^2√3) / 4. Таким образом, S1 / S2 = (3R^2√3) / ((3R^2√3) / 4) = 4. Это означает, что площадь вписанного треугольника в 4 раза больше площади описанного.

Итак, мы пришли к выводу:

• Периметр вписанного треугольника в 2 раза больше периметра описанного треугольника.
• Площадь вписанного треугольника в 4 раза больше площади описанного треугольника.