В окружность вписаны правильный треугольник и квадрат. Если площадь квадрата равна S, то как можно определить сторону и площадь треугольника?

Геометрия 8 класс Вписанные и описанные фигуры площадь квадрата правильный треугольник окружность сторона треугольника геометрия 8 класс Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем, как связаны между собой правильный треугольник и квадрат, вписанные в одну окружность.

1. Определим радиус окружности.

• Площадь квадрата S равна квадрату длины его стороны. Обозначим сторону квадрата как a. Тогда:
• S = a^2, откуда a = √S.
• Сторона квадрата вписана в окружность, и радиус R окружности можно найти по формуле:
• R = a / √2. Подставим значение a:
• R = (√S) / √2 = √(S / 2).

2. Определим сторону правильного треугольника.

• Сторона правильного треугольника, вписанного в ту же окружность, обозначим ее b, также связана с радиусом окружности. Формула для стороны правильного треугольника:
• b = R * √3.
• Подставим значение R:
• b = √(S / 2) * √3 = √(3S / 2).

3. Определим площадь правильного треугольника.

• Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:
• Площадь = (b^2 * √3) / 4.
• Подставим найденное значение b:
• Площадь = ((√(3S / 2))^2 * √3) / 4 = (3S / 2 * √3) / 4 = (3S√3) / 8.

Таким образом, мы определили, что:

• Сторона правильного треугольника b = √(3S / 2);
• Площадь правильного треугольника равна (3S√3) / 8.