В прямоугольном треугольнике ABC с углом B, равным 90 градусам, сторона BC имеет длину 34 см, а высота BO равна 16 см. Какова длина стороны AB и каков синус угла A?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник сторона BC высота BO длина AB синус угла A геометрия 8 класс задачи по геометрии треугольники свойства треугольников Тригонометрия Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC с углом B равным 90 градусам. Сторона BC (противолежащая стороне AB) равна 34 см, а высота BO, проведенная из угла B на сторону AC, равна 16 см.

Шаг 1: Найдем длину стороны AC.

Поскольку BO - это высота, мы можем использовать формулу для площади треугольника, которая равна:

• Площадь = (1/2) * основание * высота.

В нашем случае основание - это сторона AC, а высота - это BO. Таким образом, площадь треугольника ABC можно выразить как:

• Площадь = (1/2) * AC * BO.

Также, мы можем выразить площадь через сторону BC и сторону AB:

• Площадь = (1/2) * BC * AB = (1/2) * 34 * AB.

Теперь мы можем приравнять два выражения для площади:

• (1/2) * AC * 16 = (1/2) * 34 * AB.

Убираем (1/2) из обеих сторон:

• AC * 16 = 34 * AB.

Теперь выразим AC через AB:

• AC = (34 * AB) / 16.

Шаг 2: Используем теорему Пифагора.

В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора мы имеем:

• AB^2 + BC^2 = AC^2.

Подставим известные значения:

• AB^2 + 34^2 = AC^2.

Теперь подставим выражение для AC из предыдущего шага:

• AB^2 + 34^2 = ((34 * AB) / 16)^2.

Теперь упростим это уравнение:

• AB^2 + 1156 = (1156 * AB^2) / 256.

Умножим обе стороны на 256, чтобы избавиться от дроби:

• 256 * AB^2 + 256 * 1156 = 1156 * AB^2.

Соберем все члены с AB^2 в одну сторону:

• 256 * AB^2 - 1156 * AB^2 + 256 * 1156 = 0.

Это упростится до:

• -900 * AB^2 + 296896 = 0.

Решим это уравнение:

• 900 * AB^2 = 296896.
• AB^2 = 296896 / 900.
• AB^2 = 330.9956.
• AB ≈ 18.2 см.

Шаг 3: Найдем синус угла A.

Синус угла A в нашем треугольнике определяется как отношение противолежащей стороны (BC) к гипотенузе (AC):

• sin(A) = BC / AC.

Теперь нам нужно найти AC. Подставим значение AB в формулу для AC:

• AC = (34 * 18.2) / 16.
• AC ≈ 38.65 см.

Теперь можем найти синус угла A:

• sin(A) = 34 / 38.65 ≈ 0.878.

Итак, длина стороны AB составляет примерно 18.2 см, а синус угла A равен примерно 0.878.