В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, отрезок CD перпендикулярен отрезку AB. Известно, что AD равно 2, а DB равно 3. Как можно вычислить синус, косинус и тангенс угла A?

Геометрия 8 класс Тригонометрия прямоугольного треугольника прямоугольный треугольник угол C отрезок CD синус угла A косинус угла A тангенс угла A AD равно 2 DB равно 3 вычисление тригонометрических функций Новый

Давайте разберемся, как мы можем вычислить синус, косинус и тангенс угла A в данном прямоугольном треугольнике ABC.

В нашем треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, а отрезок CD перпендикулярен отрезку AB. Мы знаем, что:

• AD = 2
• DB = 3

Сначала найдем длину отрезка AB. Поскольку AD и DB лежат на одной прямой, мы можем просто сложить их:

Длина отрезка AB:

AB = AD + DB = 2 + 3 = 5

Теперь мы можем воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника для нахождения синуса, косинуса и тангенса угла A.

В прямоугольном треугольнике:

• Синус угла A (sin A) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус угла A (cos A) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс угла A (tan A) равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

Для начала нам нужно найти длины катетов AC и BC. Мы можем использовать теорему Пифагора:

Длина катета AC:

Поскольку CD перпендикулярен AB и делит его на отрезки AD и DB, мы можем использовать подобие треугольников. Мы знаем, что:

AC/AD = BC/DB

Обозначим AC как x и BC как y. Подставим известные значения:

x/2 = y/3

Теперь выразим y через x:

y = (3/2) * x

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ABC:

Теорема Пифагора:

AB^2 = AC^2 + BC^2

Подставим известные значения:

5^2 = x^2 + y^2

25 = x^2 + ((3/2) * x)^2

25 = x^2 + (9/4) * x^2

25 = (1 + 9/4) * x^2

25 = (13/4) * x^2

Теперь умножим обе стороны на 4:

100 = 13 * x^2

x^2 = 100/13

x = √(100/13) = 10/√13

Теперь найдем y:

y = (3/2) * (10/√13) = 15/√13

Теперь у нас есть длины катетов AC и BC. Теперь мы можем найти синус, косинус и тангенс угла A:

Синус угла A:

sin A = противолежащий катет / гипотенуза = AC / AB = (10/√13) / 5 = 2/√13

Косинус угла A:

cos A = прилежащий катет / гипотенуза = BC / AB = (15/√13) / 5 = 3/√13

Тангенс угла A:

tan A = противолежащий катет / прилежащий катет = AC / BC = (10/√13) / (15/√13) = 10/15 = 2/3

Итак, мы нашли:

• sin A = 2/√13
• cos A = 3/√13
• tan A = 2/3