Для решения задачи начнем с анализа данных, которые у нас есть.

• У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусам.
• Внешний угол при вершине A равен 120 градусам.
• Сумма сторон AC и AB составляет 18 см.

Сначала определим, что такое внешний угол. Внешний угол при вершине A равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В нашем случае:

• Угол ACB равен 90 градусам (прямой угол).
• Обозначим угол CAB как α. Тогда внешний угол A равен 180° - α.

Так как внешний угол равен 120 градусам, мы можем записать уравнение:

180° - α = 120°

Решим это уравнение для α:

α = 180° - 120° = 60°

Теперь мы знаем, что угол CAB равен 60 градусам, а угол ACB равен 90 градусам. Таким образом, мы можем найти угол ABC:

Угол ABC = 180° - 90° - 60° = 30°

Теперь у нас есть все углы треугольника ABC:

• Угол A = 60°
• Угол B = 30°
• Угол C = 90°

Теперь воспользуемся свойствами треугольника и соотношениями между сторонами. В треугольнике ABC, где угол A равен 60°, угол B равен 30°, существует соотношение:

• Сторона, противоположная углу 30°, (AC) равна половине гипотенузы (AB).
• Сторона, противоположная углу 60°, (AB) равна AC умноженное на корень из 3.

Обозначим:

• AC = x
• AB = y

Мы знаем, что:

x + y = 18 см

Также, используя соотношения в треугольнике, можем выразить y через x:

y = 2x (так как AC = x, а AB = 2x по свойству треугольника с углом 30° и 60°)

Теперь подставим выражение для y в уравнение суммы сторон:

x + 2x = 18

Это уравнение можно упростить:

3x = 18

Теперь решим его:

x = 18 / 3 = 6 см

Теперь, зная x, найдем y:

y = 2x = 2 * 6 = 12 см

Таким образом, длины сторон треугольника ABC равны:

• Сторона AC = 6 см
• Сторона AB = 12 см

Итак, мы определили длины сторон:

• Длина стороны AC (противоположной углу 30°) равна 6 см.
• Длина стороны AB (гипотенуза) равна 12 см.