В прямоугольном треугольнике DEF, где DE=EF, есть точка M, являющаяся серединой отрезка DE. Из точки M проведена прямая, перпендикулярная к катету DE, которая пересекает гипотенузу DF в точке K, при этом MK=9 см. Какова длина катета DE?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник катет гипотенуза длина отрезка геометрия 8 класс перпендикуляр середина отрезка задача на треугольник Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный треугольник DEF, где DE = EF. Это означает, что треугольник DEF является равнобедренным. Также, M - это середина отрезка DE, а прямая MK перпендикулярна к катету DE и пересекает гипотенузу DF в точке K, причем MK = 9 см.

Так как M - середина DE, то DE можно обозначить как x. Таким образом, длина отрезка DM будет равна x/2.

Теперь, поскольку MK перпендикулярна DE, мы можем рассмотреть треугольник DMK. В этом треугольнике:

• DM - это половина длины катета DE, то есть DM = x/2;
• MK - это перпендикуляр, длина которого равна 9 см;
• DK - это гипотенуза треугольника DMK.

По теореме Пифагора для треугольника DMK мы можем записать:

DM^2 + MK^2 = DK^2

Подставим известные значения:

(x/2)^2 + 9^2 = DK^2

Теперь упростим это уравнение:

• (x/2)^2 = x^2 / 4;
• 9^2 = 81;

Таким образом, у нас получается:

x^2 / 4 + 81 = DK^2

Теперь, чтобы найти DK, мы можем заметить, что треугольник DEF является равнобедренным, и, следовательно, DK также можно выразить через DE. Однако, нам не нужно это делать, так как мы можем найти x, если предположим, что DK - это длина катета DF.

Так как DE = EF, и в прямоугольном треугольнике DE и EF равны, мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника и соотношения между его сторонами.

Далее, мы можем выразить DK через x, так как DK будет равен DE, то есть x. Тогда у нас получится следующее уравнение:

x^2 / 4 + 81 = x^2

Теперь приведем все к одной стороне:

x^2 - x^2 / 4 = 81

Упростим:

(4x^2 - x^2) / 4 = 81

3x^2 / 4 = 81

Теперь умножим обе стороны уравнения на 4:

3x^2 = 324

Теперь разделим обе стороны на 3:

x^2 = 108

Теперь найдем x:

x = √108

Упрощая √108, мы получаем:

x = √(36 * 3) = 6√3

Таким образом, длина катета DE равна 6√3 см.