В прямоугольном треугольнике, если медиана, проведенная из прямого угла, равна одному из катетов, то каков меньший угол этого треугольника?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник медиана катет меньший угол свойства треугольников геометрия 8 класс

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

В прямоугольном треугольнике обозначим углы как A, B и C, где угол C – это прямой угол (90 градусов). Пусть катеты треугольника будут равны a и b, где a – это катет, к которому проведена медиана, а b – другой катет. Медиана, проведенная из прямого угла C, делит гипотенузу на две равные части.

Согласно условию задачи, медиана из угла C равна одному из катетов. Обозначим медиану как m. Мы знаем, что длина медианы в прямоугольном треугольнике рассчитывается по следующей формуле:

Формула для медианы:

m = (1/2) * sqrt(2a^2 + 2b^2 - c^2),

где c – длина гипотенузы, которая равна sqrt(a^2 + b^2).

Так как медиана m равна одному из катетов, предположим, что m = a. Подставим это в формулу:

1. Сначала найдем длину гипотенузы c: c = sqrt(a^2 + b^2).
2. Теперь подставим это значение в формулу медианы:
3. m = (1/2) * sqrt(2a^2 + 2b^2 - (a^2 + b^2)) = (1/2) * sqrt(a^2 + b^2).

Теперь мы можем приравнять медиану к катету:

(1/2) * sqrt(a^2 + b^2) = a.

Умножим обе стороны на 2:

sqrt(a^2 + b^2) = 2a.

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

a^2 + b^2 = 4a^2.

Переносим все в одну сторону:

b^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2.

Таким образом, мы получаем:

b = sqrt(3) * a.

Теперь, чтобы найти углы, воспользуемся тригонометрией. Мы знаем, что:

Тангенс угла A:

tan(A) = противолежащий катет / прилежащий катет = b / a = sqrt(3).

Таким образом, угол A равен 60 градусов, так как tan(60) = sqrt(3).

Теперь найдем угол B:

Угол B = 90 - угол A = 90 - 60 = 30 градусов.

Таким образом, меньший угол этого треугольника равен 30 градусов.

Ответ: Меньший угол треугольника равен 30 градусов.

В данном вопросе мы рассматриваем прямоугольный треугольник, в котором медиана, проведенная из прямого угла, равна одному из катетов. Давайте разберем это утверждение шаг за шагом.

Определение медианы: Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. В нашем случае медиана проведена из прямого угла треугольника.

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике: В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из прямого угла, равна половине длины гипотенузы. Таким образом, если обозначить катеты как a и b, а гипотенузу как c, то медиана m из прямого угла будет равна:

• m = c / 2.

Теперь, согласно условию задачи, медиана равна одному из катетов, скажем, a:

• m = a.

Сравнив два выражения для медианы, мы получаем:

• c / 2 = a.

Отсюда следует, что:

• c = 2a.

Теперь применим теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

• a² + b² = c².

Подставим значение c:

• a² + b² = (2a)².

Это упростится до:

• a² + b² = 4a².

Переносим a² в левую часть:

• b² = 4a² - a² = 3a².

Таким образом, мы получаем:

• b = √(3) * a.

Теперь мы можем найти углы треугольника. Обозначим угол, противолежащий катету a, как α. Используя тригонометрические функции, мы можем выразить угол α через катеты:

• tan(α) = противолежащий катет / прилежащий катет = a / b.

Подставим значение b:

• tan(α) = a / (√3 * a) = 1 / √3.

Зная, что tan(30°) = 1 / √3, мы можем заключить, что:

• α = 30°.

Таким образом, меньший угол прямоугольного треугольника, в котором медиана, проведенная из прямого угла, равна одному из катетов, составляет 30 градусов.