В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 3 корня из 5, а разница между катетами составляет 3 см. Как можно определить длины катетов этого треугольника?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник гипотенуза длины катетов разница катетов геометрия 8 класс Новый

Для решения задачи о нахождении длин катетов прямоугольного треугольника, где известна длина гипотенузы и разница между катетами, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Обозначим катеты: Пусть один катет обозначим как a, а другой катет как b. По условию задачи, разница между катетами равна 3 см, то есть:
• a - b = 3
2. Используем теорему Пифагора: Поскольку у нас прямоугольный треугольник, мы можем записать уравнение по теореме Пифагора:
• a² + b² = (3√5)²
3. Вычислим квадрат гипотенузы: Найдем квадрат гипотенузы:
• (3√5)² = 9 * 5 = 45
4. Подставим значение в уравнение: Теперь у нас есть система уравнений:
• a - b = 3
• a² + b² = 45
5. Выразим один катет через другой: Из первого уравнения выразим a:
• a = b + 3
6. Подставим выражение в уравнение Пифагора: Теперь подставим a во второе уравнение:
• (b + 3)² + b² = 45
7. Раскроем скобки:
• b² + 6b + 9 + b² = 45
8. Соберем подобные слагаемые: Упрощаем уравнение:
• 2b² + 6b + 9 - 45 = 0
• 2b² + 6b - 36 = 0
9. Упростим уравнение: Делим все коэффициенты на 2:
• b² + 3b - 18 = 0
10. Решим квадратное уравнение: Используем дискриминант:
• D = b² - 4ac = 3² - 4 * 1 * (-18) = 9 + 72 = 81
11. Найдем корни уравнения: Корни находятся по формуле:
• b = (-3 ± √D) / 2 = (-3 ± 9) / 2
12. Находим значения:
• b1 = (6) / 2 = 3
• b2 = (-12) / 2 = -6 (отрицательное значение не подходит)
13. Найдем значение a: Теперь, зная b = 3, подставим его в уравнение a = b + 3:
• a = 3 + 3 = 6
14. Ответ: Длины катетов:
• a = 6 см
• b = 3 см

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 3 см.