В прямоугольном треугольнике один из катетов и медиана, проведенная на гипотенузу, равны 4 см. Как можно найти углы и длину гипотенузы этого треугольника?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник катеты медиана гипотенуза Углы длина гипотенузы задача по геометрии решение треугольника Новый

Чтобы найти углы и длину гипотенузы в данном прямоугольном треугольнике, где один из катетов и медиана, проведенная на гипотенузу, равны 4 см, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами треугольников и формулами.

Шаг 1: Обозначим известные величины.

• Пусть A - вершина прямого угла.
• B и C - другие вершины треугольника, где AB и AC - катеты.
• Пусть AB = 4 см (катет), а медиана AM = 4 см, где M - середина гипотенузы BC.

Шаг 2: Используем формулу для медианы.

Медиана, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два равных отрезка и равна:

AM = 1/2 * √(2AB² + 2AC² - BC²).

Так как AB = 4 см, обозначим AC = b и гипотенузу BC = c.

Шаг 3: Подставим известные значения в формулу медианы.

Мы знаем, что AM = 4 см:

4 = 1/2 * √(2*4² + 2b² - c²).

Умножим обе стороны на 2:

8 = √(32 + 2b² - c²).

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

64 = 32 + 2b² - c².

Упрощаем уравнение:

2b² - c² = 32.

Таким образом, у нас есть первое уравнение:

2b² - c² = 32. (1)

Шаг 4: Используем теорему Пифагора.

В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

c² = AB² + AC².

Подставим известные значения:

c² = 4² + b².

Таким образом, у нас есть второе уравнение:

c² = 16 + b². (2)

Шаг 5: Подставим (2) в (1).

Подставим значение c² из второго уравнения в первое:

2b² - (16 + b²) = 32.

Упрощаем это уравнение:

2b² - 16 - b² = 32.

b² - 16 = 32.

b² = 48.

b = √48 = 4√3 см.

Шаг 6: Найдем длину гипотенузы c.

Теперь подставим значение b в уравнение (2):

c² = 16 + (4√3)².

c² = 16 + 48 = 64.

c = √64 = 8 см.

Шаг 7: Найдем углы треугольника.

Теперь, когда мы знаем длины всех сторон, можем найти углы. Используем тригонометрические функции:

• Угол A (где AB - противолежащий катет): sin(A) = AB/c = 4/8 = 0.5, A = 30°.
• Угол B: cos(B) = AC/c = (4√3)/8 = √3/2, B = 60°.

Ответ: Длина гипотенузы c = 8 см, угол A = 30°, угол B = 60°.