В прямоугольном треугольнике один из катетов составляет 6√3, а угол, противолежащий этому катету, равен 60°. Как можно вычислить гипотенузу и длину второго катета?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник катеты гипотенуза угол 60 градусов 6√3 Тригонометрия вычисление формулы геометрия 8 класс Новый

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и тригонометрическими функциями. Давайте обозначим наш треугольник как ABC, где угол C является прямым углом, а угол A равен 60°. Катет, противолежащий углу A, обозначим как a, который равен 6√3, а гипотенузу обозначим как c, а второй катет, прилежащий к углу A, обозначим как b.

Теперь мы можем использовать соотношения в прямоугольном треугольнике:

• Синус угла A:

Синус угла A равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin(A) = a / c

Подставим известные значения:

sin(60°) = 6√3 / c

Зная, что sin(60°) = √3 / 2, мы можем записать уравнение:

√3 / 2 = 6√3 / c

Теперь умножим обе стороны на c:

c * (√3 / 2) = 6√3

Далее, чтобы изолировать c, умножим обе стороны на 2 и разделим на √3:

c = (6√3 * 2) / √3

c = 12

Итак, мы нашли длину гипотенузы: c = 12.

Теперь найдем длину второго катета b. Для этого мы можем использовать косинус угла A:

• Косинус угла A:

cos(A) = b / c

Подставим известные значения:

cos(60°) = b / 12

Зная, что cos(60°) = 1/2, мы можем записать уравнение:

1/2 = b / 12

Теперь умножим обе стороны на 12:

b = 12 * (1/2)

b = 6

Таким образом, мы нашли длину второго катета: b = 6.

В итоге, в нашем прямоугольном треугольнике:

• Гипотенуза c = 12
• Первый катет a = 6√3
• Второй катет b = 6