В прямоугольном треугольнике один из острых углов в 2 раза меньше другого. Известно, что разница между гипотенузой и меньшим катетом составляет 15 см. Как можно определить гипотенузу и меньший катет этого треугольника?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник острые углы гипотенуза меньший катет разница катетов задачи по геометрии решение треугольников свойства треугольников Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

В прямоугольном треугольнике один из острых углов обозначим как α, а другой угол как β. Из условия задачи мы знаем, что:

• α + β = 90° (сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°);
• α = 2β (один угол в 2 раза меньше другого).

Теперь можем выразить углы через β:

• α = 2β;
• 2β + β = 90°;
• 3β = 90°;
• β = 30°;
• α = 2 * 30° = 60°.

Таким образом, мы определили углы треугольника: один угол равен 30°, другой - 60°, а третий угол - 90°.

Теперь обозначим катеты и гипотенузу:

• Меньший катет (противолежащий углу 30°) обозначим как a;
• Больший катет (противолежащий углу 60°) обозначим как b;
• Гипотенузу обозначим как c.

По свойствам прямоугольного треугольника с углами 30° и 60° знаем, что:

• a = c/2 (меньший катет равен половине гипотенузы);
• b = (c * √3) / 2 (больший катет равен половине гипотенузы, умноженной на корень из 3).

Теперь по условию задачи нам известно, что разница между гипотенузой и меньшим катетом составляет 15 см:

• c - a = 15.

Подставим значение a:

• c - (c/2) = 15;

Упростим уравнение:

• c/2 = 15;
• c = 30.

Теперь мы нашли гипотенузу. Чтобы найти меньший катет, подставим значение c в формулу для a:

• a = c/2 = 30/2 = 15.

Таким образом, мы получили:

• Гипотенуза (c) = 30 см;
• Меньший катет (a) = 15 см.

Ответ: гипотенуза равна 30 см, меньший катет равен 15 см.