В прямоугольном треугольнике один катет короче другого на 1 дм, а гипотенуза равна 5 дм. Как можно найти площадь этого треугольника?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник катеты гипотенуза площадь треугольника задачи по геометрии 8 класс длина катетов формула площади Пифагора решение задачи Новый

Для нахождения площади прямоугольного треугольника, необходимо сначала определить длины его катетов. В данном случае, один катет короче другого на 1 дм, а гипотенуза равна 5 дм. Мы будем использовать теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Обозначим длины катетов следующим образом:

• Первый катет - x дм
• Второй катет - (x + 1) дм

Согласно теореме Пифагора, можно записать уравнение:

x² + (x + 1)² = 5²

Раскроем скобки и упростим уравнение:

1. Раскрываем скобки: (x + 1)² = x² + 2x + 1
2. Подставляем в уравнение: x² + x² + 2x + 1 = 25
3. Упрощаем: 2x² + 2x + 1 = 25
4. Переносим все в одну сторону: 2x² + 2x - 24 = 0
5. Делим на 2: x² + x - 12 = 0

Теперь решим квадратное уравнение x² + x - 12 = 0 с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49

Теперь находим корни уравнения:

1. x₁ = (-b + √D) / 2a = (-1 + 7) / 2 = 3
2. x₂ = (-b - √D) / 2a = (-1 - 7) / 2 = -4

Так как длина катета не может быть отрицательной, принимаем x = 3 дм. Тогда:

• Первый катет (x) = 3 дм
• Второй катет (x + 1) = 4 дм

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, используем формулу:

Площадь = (1/2) * основание * высота

В нашем случае основание и высота - это катеты:

Площадь = (1/2) * 3 * 4 = 6 дм²

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника равна 6 дм².