В прямоугольном треугольнике один острый угол в два раза меньше другого, а разница между гипотенузой и меньшим катетом равна 15 см. Как можно определить значения гипотенузы и меньшего катета?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник острые углы гипотенуза катеты разница катетов геометрические задачи решение треугольников свойства треугольников математические уравнения геометрия 8 класс Новый

Для решения данной задачи начнем с обозначений и применения тригонометрических соотношений. Обозначим:

• меньший острый угол - α,
• больший острый угол - β,
• гипотенуза - c,
• меньший катет - a,
• больший катет - b.

Из условия задачи известно, что угол β в два раза больше угла α:

β = 2α

Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам и один угол равен 90 градусам, мы можем записать:

α + β + 90° = 180°

Подставим значение β:

α + 2α + 90° = 180°

Это упрощается до:

3α + 90° = 180°

Теперь выразим α:

3α = 180° - 90°

3α = 90°

α = 30°

Следовательно, угол β равен:

β = 2 * 30° = 60°

Теперь мы знаем углы треугольника: 30°, 60° и 90°. В таком треугольнике существует известное соотношение между сторонами:

• гипотенуза c = 2a (где a - меньший катет),
• большой катет b = a√3.

По условию задачи также известно, что разница между гипотенузой и меньшим катетом равна 15 см:

c - a = 15 см

Теперь подставим выражение для гипотенузы:

2a - a = 15 см

Это упрощается до:

a = 15 см

Теперь, зная значение меньшего катета, можем найти гипотенузу:

c = 2a = 2 * 15 см = 30 см

Таким образом, мы получили:

• меньший катет (a) = 15 см,
• гипотенуза (c) = 30 см.

Итак, значения гипотенузы и меньшего катета в данном прямоугольном треугольнике равны 30 см и 15 см соответственно.