В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, составляет 1 см, а один из катетов равен 2 см. Как можно определить меньший угол этого треугольника?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник высота к гипотенузе катет меньший угол геометрия 8 класс Тригонометрия вычисление углов свойства треугольников задачи по геометрии Новый

Чтобы определить меньший угол прямоугольного треугольника, где высота, проведенная к гипотенузе, составляет 1 см, а один из катетов равен 2 см, мы можем воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и тригонометрией. Давайте разберем шаги решения:

1. Обозначим элементы треугольника:
   • Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где угол C - прямой.
   • Обозначим катет AC = 2 см (это известный катет).
   • Обозначим высоту CH, проведенную к гипотенузе AB, равной 1 см.
2. Найдём длину гипотенузы:
   • Площадь треугольника можно выразить двумя способами:
   • 1) Через катеты: S = (AC * BC) / 2.
   • 2) Через высоту: S = (AB * CH) / 2.
   • Сравнивая оба выражения, получаем: (AC * BC) / 2 = (AB * 1) / 2.
   • Отсюда: AC * BC = AB.
3. Используем теорему Пифагора:
   • Согласно теореме Пифагора, для треугольника ABC выполняется: AB^2 = AC^2 + BC^2.
   • Подставим известные значения: AB^2 = 2^2 + BC^2.
   • Таким образом, AB^2 = 4 + BC^2.
4. Составим систему уравнений:
   • Мы уже знаем, что AC * BC = AB.
   • Подставляем AB из уравнения Пифагора: 2 * BC = √(4 + BC^2).
   • Теперь квадратим обе стороны: (2 * BC)^2 = 4 + BC^2.
   • Получаем: 4 * BC^2 = 4 + BC^2.
   • Переносим BC^2 влево: 4 * BC^2 - BC^2 = 4.
   • Таким образом, 3 * BC^2 = 4, отсюда BC^2 = 4/3, а значит BC = √(4/3) = 2/√3.
5. Находим углы:
   • Теперь мы можем найти угол A (меньший угол), используя тангенс: tan(A) = BC / AC = (2/√3) / 2 = 1/√3.
   • Таким образом, угол A = arctan(1/√3).
   • Зная, что tan(30°) = 1/√3, мы можем заключить, что угол A = 30°.

Таким образом, меньший угол этого прямоугольного треугольника составляет 30 градусов.