Вопрос: Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 сантиметрам, а сумма катетов составляет 17 сантиметров. Как найти P (периметр) и S (площадь) этого треугольника?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники радиус окружности вписанной в треугольник прямоугольный треугольник сумма катетов периметр треугольника площадь треугольника геометрия 8 класс задачи по геометрии формулы для треугольника радиус вписанной окружности катеты треугольника Новый

Давайте разберем, как найти периметр (P) и площадь (S) прямоугольного треугольника, если известен радиус вписанной окружности (r) и сумма катетов.

У нас есть следующие данные:

• Радиус вписанной окружности (r) = 2 см
• Сумма катетов (a + b) = 17 см

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

r = (a + b - c) / 2

где c - гипотенуза треугольника. Из этой формулы мы можем выразить гипотенузу:

c = a + b - 2r

Подставим известные значения:

c = 17 - 2 * 2 = 17 - 4 = 13 см

Теперь у нас есть значения для суммы катетов (a + b) и гипотенузы (c). Периметр треугольника (P) можно найти по формуле:

P = a + b + c

Подставим наши значения:

P = 17 + 13 = 30 см

Теперь найдем площадь (S) прямоугольного треугольника. Площадь можно вычислить по формуле:

S = (a * b) / 2

Но нам нужно знать значения a и b. Мы знаем, что:

• a + b = 17
• c = 13

По теореме Пифагора у нас есть еще одно уравнение:

a^2 + b^2 = c^2

Подставим значение c:

a^2 + b^2 = 13^2 = 169

Теперь у нас есть система уравнений:

• 1) a + b = 17
• 2) a^2 + b^2 = 169

Из первого уравнения выразим b:

b = 17 - a

Подставим b во второе уравнение:

a^2 + (17 - a)^2 = 169

Раскроем скобки:

a^2 + (289 - 34a + a^2) = 169

Соберем все подобные члены:

2a^2 - 34a + 289 - 169 = 0 2a^2 - 34a + 120 = 0

Теперь упростим уравнение, разделив все на 2:

a^2 - 17a + 60 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 1 60 = 289 - 240 = 49

Теперь найдем корни уравнения:

a = (17 ± √49) / 2 a = (17 ± 7) / 2

Получаем два значения:

• a1 = (24) / 2 = 12
• a2 = (10) / 2 = 5

Теперь найдем b:

• Если a = 12, то b = 17 - 12 = 5
• Если a = 5, то b = 17 - 5 = 12

Теперь мы можем найти площадь:

S = (a b) / 2 = (12 5) / 2 = 60 / 2 = 30 см²

Таким образом, у нас есть:

• Периметр (P) = 30 см
• Площадь (S) = 30 см²