Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а площадь этого треугольника составляет 30 см². Как можно определить длины катетов?

Геометрия 9 класс Прямоугольные треугольники гипотенуза прямоугольный треугольник длины катетов площадь треугольника задача по геометрии

Чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, когда известна длина гипотенузы и площадь, мы можем использовать несколько формул. Давайте разберемся шаг за шагом.

Шаг 1: Запишем известные данные.

• Гипотенуза (c) = 13 см
• Площадь (S) = 30 см²

Шаг 2: Вспомним формулу для площади прямоугольного треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

S = (a * b) / 2,

где a и b - длины катетов. Из этой формулы мы можем выразить произведение катетов:

a * b = 2S = 2 * 30 = 60.

Шаг 3: Вспомним теорему Пифагора.

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство:

a² + b² = c².

Подставим значение гипотенузы:

a² + b² = 13² = 169.

Шаг 4: У нас есть система уравнений.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. a * b = 60
2. a² + b² = 169

Шаг 5: Выразим один катет через другой.

Из первого уравнения можем выразить b:

b = 60 / a.

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

a² + (60 / a)² = 169.

Шаг 6: Упростим уравнение.

Раскроем скобки:

a² + 3600 / a² = 169.

Умножим всё уравнение на a², чтобы избавиться от дроби:

a^4 - 169a² + 3600 = 0.

Шаг 7: Обозначим новую переменную.

Пусть x = a². Тогда уравнение примет вид:

x² - 169x + 3600 = 0.

Шаг 8: Найдем корни этого квадратного уравнения.

Используем дискриминант:

D = b² - 4ac = 169² - 4 * 1 * 3600 = 28561 - 14400 = 14161.

Корни уравнения:

x = (169 ± √14161) / 2.

√14161 = 119, следовательно:

x1 = (169 + 119) / 2 = 144,

x2 = (169 - 119) / 2 = 25.

Шаг 9: Найдем a и b.

Теперь вернемся к a²:

• Если a² = 144, то a = 12, b = 60 / 12 = 5.
• Если a² = 25, то a = 5, b = 60 / 5 = 12.

Ответ:

Таким образом, длины катетов равны 5 см и 12 см.

Привет! Давай вместе разберемся, как найти длины катетов прямоугольного треугольника, зная его гипотенузу и площадь. Это действительно увлекательно!

Итак, у нас есть:

• Гипотенуза (c) = 13 см
• Площадь (S) = 30 см²

Сначала вспомним, что площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты (a и b):

S = (a * b) / 2

Подставим значение площади:

30 = (a * b) / 2

Отсюда получаем:

a * b = 60

Теперь у нас есть еще одно уравнение, связанное с гипотенузой:

a² + b² = c²

Подставляем значение гипотенузы:

a² + b² = 13² = 169

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a * b = 60
2. a² + b² = 169

Давай выразим b через a из первого уравнения:

b = 60 / a

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

a² + (60 / a)² = 169

Упрощая, получим:

a² + 3600 / a² = 169

Умножим всё на a², чтобы избавиться от дроби:

a^4 - 169a² + 3600 = 0

Теперь, чтобы решить это уравнение, давай введем замену:

x = a²

Тогда уравнение станет:

x² - 169x + 3600 = 0

Теперь можно использовать дискриминант:

D = b² - 4ac = (-169)² - 4 * 1 * 3600

D = 28561 - 14400 = 14161

Теперь найдем корни:

x = (169 ± √14161) / 2

После вычислений мы получим два значения для x, а затем найдем a и b, извлекая корень из x. Это даст нам длины катетов!

Так что вперед, давай решим это уравнение, и мы сможем узнать длины катетов! Удачи!