В прямоугольном треугольнике гипотенуза составляет 15 см, а периметр равен 36 см. Как можно найти катеты этого треугольника?

Геометрия 9 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник гипотенуза катеты периметр задача по геометрии нахождение катетов формулы для треугольника Новый

Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, зная гипотенузу и периметр, мы можем воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Обозначим катеты

Обозначим катеты треугольника как a и b. Гипотенуза будет равна c, и в нашем случае c = 15 см.

Шаг 2: Запишем уравнение для периметра

Периметр P прямоугольного треугольника равен сумме всех его сторон:

• P = a + b + c

Подставим известные значения:

• 36 = a + b + 15

Теперь упростим это уравнение:

• a + b = 36 - 15
• a + b = 21

Шаг 3: Используем теорему Пифагора

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее уравнение:

• c² = a² + b²

Подставим значение гипотенузы:

• 15² = a² + b²
• 225 = a² + b²

Шаг 4: Решим систему уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1) a + b = 21
• 2) a² + b² = 225

Из первого уравнения выразим b:

• b = 21 - a

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

• a² + (21 - a)² = 225

Шаг 5: Раскроем скобки

Раскроем скобки во втором уравнении:

• a² + (441 - 42a + a²) = 225

Сложим подобные члены:

• 2a² - 42a + 441 = 225

Шаг 6: Приведем уравнение к стандартному виду

Переносим 225 в левую часть уравнения:

• 2a² - 42a + 216 = 0

Упростим уравнение, разделив на 2:

• a² - 21a + 108 = 0

Шаг 7: Найдем корни уравнения

Теперь можем использовать дискриминант для нахождения корней:

• D = b² - 4ac = (-21)² - 4 * 1 * 108
• D = 441 - 432 = 9

Корни уравнения находятся по формуле:

• a = (21 ± √D) / 2

Подставляем значение D:

• a = (21 ± 3) / 2

Таким образом, у нас два значения:

• a1 = (21 + 3) / 2 = 12 см
• a2 = (21 - 3) / 2 = 9 см

Шаг 8: Найдем катеты

Теперь мы можем найти b, подставив a обратно в уравнение b = 21 - a:

• Для a1 = 12 см: b = 21 - 12 = 9 см
• Для a2 = 9 см: b = 21 - 9 = 12 см

Ответ:

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 9 см.