Как найти острые углы прямоугольного треугольника, если его площадь равна 8, а гипотенуза составляет 8?

Геометрия 9 класс Прямоугольные треугольники острые углы прямоугольный треугольник площадь треугольника гипотенуза геометрия как найти углы задачи по геометрии Новый

Для нахождения острых углов прямоугольного треугольника, когда известны площадь и длина гипотенузы, можно использовать несколько шагов. Давайте разберем решение поэтапно.

Шаг 1: Запишем формулы

В прямоугольном треугольнике площадь (S) можно выразить через катеты (a и b) следующим образом:

S = (a * b) / 2

Также, по теореме Пифагора, для гипотенузы (c) выполняется:

c² = a² + b²

Шаг 2: Подставим известные значения

В нашем случае площадь S равна 8, а гипотенуза c равна 8. Подставим эти значения в формулы:

• (a * b) / 2 = 8
• 8² = a² + b²

Шаг 3: Упростим уравнения

Из первого уравнения мы можем выразить произведение катетов:

• a * b = 16

Из второго уравнения мы знаем:

• a² + b² = 64

Шаг 4: Используем систему уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1) a * b = 16
• 2) a² + b² = 64

Из первого уравнения можно выразить b через a:

• b = 16 / a

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

• a² + (16 / a)² = 64

Шаг 5: Преобразуем уравнение

Раскроем скобки:

• a² + 256 / a² = 64

Умножим все на a², чтобы избавиться от дроби:

• a^4 - 64a² + 256 = 0

Шаг 6: Обозначим переменную

Обозначим x = a². Тогда у нас получится квадратное уравнение:

• x² - 64x + 256 = 0

Шаг 7: Найдем корни уравнения

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = 64² - 4 * 1 * 256 = 4096 - 1024 = 3072

Теперь найдем корни:

• x = (64 ± √3072) / 2

Шаг 8: Найдем катеты

После нахождения x, мы можем найти a и b:

• a = √x1, b = √x2

Шаг 9: Найдем углы

Теперь, когда у нас есть значения a и b, мы можем найти острые углы треугольника:

• угол A = arctan(b/a)
• угол B = arctan(a/b)

Таким образом, мы можем найти острые углы прямоугольного треугольника с заданными площадью и гипотенузой.