Чтобы доказать, что два прямоугольных треугольника равны, если их гипотенузы и один острый угол равны, мы можем воспользоваться свойствами треугольников и теоремой о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУУ).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника ABC и DEF, где:

• Гипотенуза треугольника ABC равна гипотенузе треугольника DEF.
• Острый угол A равен острым углу D.

Теперь следуем следующим шагам:

1. Определение элементов треугольников: Обозначим гипотенузы треугольников как c (для ABC) и c (для DEF). Острый угол A равен углу D. Поскольку треугольники прямоугольные, у них также есть один прямой угол.
2. Использование тригонометрических функций: В прямоугольном треугольнике можно выразить длины катетов через гипотенузу и углы. Обозначим катеты треугольника ABC как a и b, а катеты треугольника DEF как e и f. По определению синуса и косинуса:
• a = c * cos(A)
• b = c * sin(A)
• e = c * cos(D)
• f = c * sin(D)
3. Равенство углов: Поскольку угол A равен углу D, то cos(A) = cos(D) и sin(A) = sin(D). Это означает, что:
• a = c * cos(A) = c * cos(D) = e
• b = c * sin(A) = c * sin(D) = f
4. Равенство сторон: Мы показали, что катеты треугольника ABC равны катетам треугольника DEF. Поскольку у нас равны все три стороны (гипотенузы и катеты),то по теореме о равенстве треугольников по трём сторонам (ССС) треугольники ABC и DEF равны.

Таким образом, мы доказали, что если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.