Как можно доказать, что треугольник, образованный точками А(2;4), В(6;-4) и С(-8;-1), является прямоугольным?

Геометрия 9 класс Прямоугольные треугольники доказательство треугольника треугольник ABC прямоугольный треугольник координаты точек геометрия 9 класс Новый

Чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным, мы можем использовать теорему Пифагора. Для этого сначала найдем длины всех сторон треугольника, а затем проверим, выполняется ли теорема Пифагора для этих сторон.

Шаги решения:

1. Найдем длины сторон треугольника:
• Длина стороны AB:

Формула для нахождения расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) выглядит так:

AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Подставим координаты точек A(2;4) и B(6;-4):

AB = √((6 - 2)² + (-4 - 4)²) = √(4² + (-8)²) = √(16 + 64) = √80 = 4√5.

• Длина стороны BC:

Теперь найдем длину стороны BC, используя точки B(6;-4) и C(-8;-1):

BC = √((-8 - 6)² + (-1 + 4)²) = √((-14)² + (3)²) = √(196 + 9) = √205.

• Длина стороны AC:

Теперь найдем длину стороны AC, используя точки A(2;4) и C(-8;-1):

AC = √((-8 - 2)² + (-1 - 4)²) = √((-10)² + (-5)²) = √(100 + 25) = √125 = 5√5.

2. Проверим теорему Пифагора:

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется равенство:

c² = a² + b²,

где c - длина гипотенузы, а a и b - длины катетов.

Сравним длины сторон:

• AB = 4√5
• BC = √205
• AC = 5√5

Теперь найдем квадраты длин сторон:

• AB² = (4√5)² = 80
• BC² = (√205)² = 205
• AC² = (5√5)² = 125

Теперь проверим равенство:

AC² = AB² + BC²

125 = 80 + 205

125 = 285 (не верно)

Теперь проверим другое равенство:

BC² = AB² + AC²

205 = 80 + 125

205 = 205 (верно)

Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC является прямоугольным, так как выполняется теорема Пифагора для сторон AB, AC и BC.