Как можно определить длины катетов прямоугольного треугольника, если известна длина гипотенузы 6 и площадь 9?

Геометрия 9 класс Прямоугольные треугольники длина катетов прямоугольный треугольник гипотенуза 6 площадь 9 геометрия формулы решение задачи Новый

Чтобы определить длины катетов прямоугольного треугольника, зная длину гипотенузы и площадь, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Обозначим катеты: Пусть катеты треугольника обозначим как a и b. Тогда гипотенуза c будет равна 6, то есть c = 6.
2. Используем формулу площади: Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: Площадь = (a * b) / 2. В нашем случае площадь равна 9, поэтому: (a * b) / 2 = 9. Умножим обе стороны на 2: a * b = 18.
3. Используем теорему Пифагора: Для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора: a² + b² = c². Подставим значение гипотенузы: a² + b² = 6², что дает a² + b² = 36.
4. Теперь у нас есть система уравнений: Мы имеем два уравнения:
   • a * b = 18
   • a² + b² = 36
   Мы можем выразить b через a из первого уравнения: b = 18 / a.
5. Подставим b во второе уравнение: Заменим b в уравнении a² + b² = 36: a² + (18/a)² = 36.
6. Упростим уравнение: Получаем: a² + 324/a² = 36. Умножим все на a², чтобы избавиться от дроби: a^4 - 36a² + 324 = 0.
7. Обозначим x = a²: Тогда уравнение примет вид: x² - 36x + 324 = 0.
8. Решим квадратное уравнение: Используем дискриминант: D = b² - 4ac = (-36)² - 4*1*324 = 1296 - 1296 = 0. Поскольку дискриминант равен 0, у нас есть один корень: x = 36 / 2 = 18.
9. Найдём a и b: Поскольку x = a², то: a² = 18, следовательно, a = √18 = 3√2. Теперь подставим a в первое уравнение для нахождения b: b = 18 / a = 18 / (3√2) = 6√2.

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны a = 3√2 и b = 6√2.