Какова градусная мера острых углов треугольника ABC, если высота CD, проведенная из вершины прямого угла, равна 4 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых равен 4 корня из 3 см?

Геометрия 9 класс Прямоугольные треугольники градусная мера углов треугольника высота треугольника треугольник ABC гипотенуза треугольника острые углы треугольника Новый

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства прямоугольного треугольника и некоторые геометрические соотношения.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой. Высота CD, проведенная из вершины C, равна 4 см и делит гипотенузу AB на два отрезка, один из которых равен 4 корня из 3 см. Обозначим отрезки гипотенузы AB как AD и DB, где AD = 4√3 см, а DB - неизвестный отрезок.

Сначала найдем длину гипотенузы AB:

• Пусть DB = x см.
• Тогда AB = AD + DB = 4√3 + x.

Теперь воспользуемся свойством высоты в прямоугольном треугольнике. Высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе, делит гипотенузу на два отрезка и выполняется следующее соотношение:

h^2 = AD * DB

где h - длина высоты CD, равная 4 см.

Подставим известные значения в формулу:

• 4^2 = 16.
• Таким образом, 16 = 4√3 * x.

Теперь решим это уравнение для x:

• x = 16 / (4√3) = 4 / √3.

Теперь мы знаем длины отрезков AD и DB:

• AD = 4√3 см,
• DB = 4 / √3 см.

Теперь найдем длину гипотенузы AB:

• AB = 4√3 + 4/√3 = (4√3 * √3 + 4) / √3 = (12 + 4) / √3 = 16 / √3 см.

Теперь, чтобы найти градусные меры углов A и B, воспользуемся тригонометрическими соотношениями:

Для угла A:

• sin(A) = противолежащий катет / гипотенуза = CD / AB = 4 / (16/√3) = 4√3 / 16 = √3 / 4.

Теперь найдем угол A:

• Угол A = arcsin(√3 / 4).

Для угла B:

• sin(B) = противолежащий катет / гипотенуза = CD / AB = 4 / (16/√3) = 4 / (16/√3) = 4√3 / 16 = √3 / 4.

Таким образом, угол B также равен:

• Угол B = arcsin(√3 / 4).

В итоге, у нас есть два острых угла A и B, которые равны. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, а угол C равен 90 градусам, то:

• Угол A + Угол B = 90 градусов.

Таким образом, мы можем заключить, что оба угла A и B равны и составляют по 45 градусов.

Ответ: Острые углы треугольника ABC равны 45 градусов.