Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, если из вершины прямого угла проведены биссектриса и высота, образующие угол 15 градусов, а гипотенуза равна 6 см?

Геометрия 9 класс Прямоугольные треугольники длина катетов прямоугольный треугольник биссектриса высота угол 15 градусов гипотенуза 6 см Новый

Для решения задачи нам нужно найти длины катетов прямоугольного треугольника, если известна длина гипотенузы и угол между биссектрисой и высотой из вершины прямого угла. Давайте обозначим катеты треугольника как a и b, а гипотенузу как c. В нашем случае c = 6 см.

Из условия задачи нам известно, что угол между биссектрисой и высотой равен 15 градусов. Мы можем использовать некоторые свойства прямоугольного треугольника и тригонометрию для нахождения катетов.

1. Напомним, что в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

• c² = a² + b²

2. Также, так как угол между биссектрисой и высотой равен 15 градусов, мы можем воспользоваться свойствами углов в треугольнике:

3. Обозначим угол при вершине прямого угла как α. Тогда угол между высотой и катетом a равен α, а угол между биссектрисой и катетом a равен (α/2). У нас есть следующее равенство:

• α/2 + 15° + α = 90°

4. Теперь решим это уравнение:

• α/2 + α = 90° - 15°
• α/2 + α = 75°
• (3α)/2 = 75°
• α = 50°

5. Теперь мы знаем, что один из углов при вершине прямого угла равен 50°. Следовательно, второй угол будет равен:

• 90° - 50° = 40°

6. Теперь мы можем найти длины катетов a и b, используя тригонометрические функции:

• a = c * sin(50°)
• b = c * sin(40°)

7. Подставим значение гипотенузы:

• a = 6 * sin(50°)
• b = 6 * sin(40°)

8. Теперь вычислим значения:

• sin(50°) ≈ 0.7660
• sin(40°) ≈ 0.6428

9. Подставим значения:

• a ≈ 6 * 0.7660 ≈ 4.596 см
• b ≈ 6 * 0.6428 ≈ 3.857 см

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника составляют примерно:

• Катет a ≈ 4.6 см
• Катет b ≈ 3.9 см

Это и есть ответ на вашу задачу!