Каковы отрезки, на которые высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит её, если катеты треугольника относятся как 3:4, а высота равна 12 см?

Геометрия 9 класс Прямоугольные треугольники отрезки высоты гипотенуза треугольника катеты 3:4 высота 12 см прямоугольный треугольник Новый

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и высоты, проведенной к гипотенузе. Давайте обозначим катеты треугольника как a и b, где a = 3x и b = 4x, поскольку они относятся как 3:4. Высота, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу на два отрезка, которые мы обозначим как m и n.

Сначала найдем длину гипотенузы c. По теореме Пифагора:

1. c = √(a² + b²)
2. Подставим значения: c = √((3x)² + (4x)²) = √(9x² + 16x²) = √(25x²) = 5x.

Теперь мы знаем, что гипотенуза равна 5x.

Согласно свойству высоты в прямоугольном треугольнике, высота h, проведенная к гипотенузе, делит её на отрезки m и n, которые относятся как квадратам катетов:

1. m/n = a²/b².
2. Подставим значения: m/n = (3x)²/(4x)² = 9/16.

Теперь выразим m и n через одно общее значение. Пусть m = 9k и n = 16k, где k - некоторый коэффициент.

Сумма отрезков m и n равна длине гипотенузы:

1. m + n = 5x.
2. Подставим выражения: 9k + 16k = 5x.
3. Это дает нам 25k = 5x, откуда k = (5x)/25 = x/5.

Теперь подставим k обратно в выражения для m и n:

1. m = 9k = 9*(x/5) = (9x)/5.
2. n = 16k = 16*(x/5) = (16x)/5.

Теперь, чтобы найти x, воспользуемся формулой для высоты h:

1. h = (ab)/c, где a и b - катеты, а c - гипотенуза.
2. Подставим значения: 12 = (3x * 4x)/(5x).
3. Упростим: 12 = (12x²)/(5x) = (12x)/5.
4. Умножим обе стороны на 5: 60 = 12x.
5. Отсюда x = 60/12 = 5.

Теперь подставим x обратно в выражения для m и n:

1. m = (9x)/5 = (9*5)/5 = 9 см.
2. n = (16x)/5 = (16*5)/5 = 16 см.

Ответ: Высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 9 см и 16 см.