Кто первый решит, дам много баллов. В прямоугольном треугольнике АВС, где ∠С = 90°, высота СН равна 12, а медиана СМ равна 15. Какой синус меньшего острого угла треугольника АВС?

Геометрия 9 класс Прямоугольные треугольники геометрия 9 класс прямоугольный треугольник синус угла высота треугольника медиана треугольника Новый

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и его высоты и медианы.

Дано:

• Треугольник АВС, где ∠C = 90°.
• Высота CH = 12.
• Медиана CM = 15.

Нам нужно найти синус меньшего острого угла треугольника АВС, который обозначим как угол A.

Сначала мы можем использовать формулы для высоты и медианы в прямоугольном треугольнике.

Для прямоугольного треугольника, высота CH может быть найдена по формуле:

• CH = (a * b) / c,

где a и b - катеты, а c - гипотенуза.

Также, медиана CM в прямоугольном треугольнике может быть найдена по формуле:

• CM = (1/2) * sqrt(2a^2 + 2b^2 - c^2).

Однако, проще будет использовать свойства высоты и медианы в прямоугольном треугольнике:

• Высота CH = (a * b) / c.
• Медиана CM = (1/2) * c.

Известно, что медиана CM равна 15, следовательно:

• c = 2 * CM = 2 * 15 = 30.

Теперь подставим значение c в формулу для высоты:

• 12 = (a * b) / 30.

Отсюда мы можем выразить произведение катетов:

• a * b = 12 * 30 = 360.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

• a^2 + b^2 = c^2 = 30^2 = 900.

Теперь у нас есть система уравнений:

• 1) a * b = 360,
• 2) a^2 + b^2 = 900.

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим b через a:

• b = 360 / a.

Подставим b во второе уравнение:

• a^2 + (360 / a)^2 = 900.

Умножим все на a^2, чтобы избавиться от дроби:

• a^4 - 900a^2 + 129600 = 0.

Это квадратное уравнение относительно a^2. Обозначим x = a^2:

• x^2 - 900x + 129600 = 0.

Решим его по формуле дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 900^2 - 4 * 1 * 129600 = 810000 - 518400 = 291600.

Теперь найдем корни:

• x = (900 ± sqrt(291600)) / 2.

Находим sqrt(291600) = 540:

• x1 = (900 + 540) / 2 = 720,
• x2 = (900 - 540) / 2 = 180.

Теперь найдем a и b:

• a^2 = 720, a = sqrt(720) = 12√5,
• b^2 = 180, b = sqrt(180) = 6√5.

Теперь мы можем найти синус угла A:

• sin A = противолежащий катет / гипотенуза = b / c = (6√5) / 30 = √5 / 5.

Таким образом, синус меньшего острого угла треугольника АВС равен:

√5 / 5.