Окружность с центром O описана вокруг прямоугольного треугольника. Как можно доказать, что точка O является серединой гипотенузы?

Геометрия 9 класс Окружность, описанная около треугольника окружность центр O прямоугольный треугольник середина гипотенузы доказательство геометрия 9 класс Новый

Чтобы доказать, что точка O является серединой гипотенузы прямоугольного треугольника, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой.

Следуйте этим шагам:

1. Определим гипотенузу и катеты: В нашем треугольнике ABC, гипотенуза - это сторона AB, а катеты - это стороны AC и BC.
2. Построим окружность: Окружность, описанная вокруг треугольника ABC, проходит через все три его вершины: A, B и C. Центр этой окружности обозначим как O.
3. Используем свойство описанной окружности: В описанной окружности прямоугольного треугольника центр окружности находится на середине гипотенузы. Это свойство основано на том, что угол, опирающийся на гипотенузу (угол ACB), равен 90 градусам.
4. Проведем доказательство:
   • Пусть D - середина отрезка AB. Тогда AD = DB.
   • Поскольку угол ACB равен 90 градусам, треугольники AOC и BOC являются равнобедренными, так как AO = BO (радиусы описанной окружности).
   • Следовательно, AO = OC и BO = OC, что означает, что O равно расстояниям от A и B до точки O, и мы можем заключить, что O является серединой отрезка AB.
5. Заключение: Таким образом, мы доказали, что центр описанной окружности O является серединой гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC.

Это свойство является важным в геометрии и используется в различных задачах, связанных с треугольниками и окружностями.