Помогите.. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 16 см. Как вычислить отношение площади этого треугольника к площади круга, вписанного в данный треугольник?

Геометрия 9 класс Окружности и треугольники радиус окружности правильный треугольник площадь треугольника площадь круга отношение площадей Новый

Для решения данной задачи необходимо рассмотреть несколько шагов, связанных с вычислением площадей правильного треугольника и круга, вписанного в него.

Шаг 1: Определение сторон правильного треугольника

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника (R), равен 16 см. Сторона правильного треугольника (a) может быть найдена по формуле:

a = R * √3

Подставляем значение радиуса:

a = 16 * √3

Шаг 2: Вычисление площади правильного треугольника

Площадь (S) правильного треугольника можно вычислить по формуле:

S = (a² * √3) / 4

Подставляем значение стороны:

S = ((16 * √3)² * √3) / 4

Вычисляем:

• (16 * √3)² = 256 * 3 = 768
• S = (768 * √3) / 4 = 192√3 см²

Шаг 3: Определение радиуса круга, вписанного в треугольник

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник (r), можно найти по формуле:

r = R * (√3 / 3)

Подставляем значение радиуса:

r = 16 * (√3 / 3) = (16√3) / 3 см

Шаг 4: Вычисление площади круга, вписанного в треугольник

Площадь круга (S_circle) можно вычислить по формуле:

S_circle = π * r²

Подставляем значение радиуса:

S_circle = π * ((16√3) / 3)²

Вычисляем:

• r² = (16² * 3) / 9 = 768 / 9
• S_circle = π * (768 / 9) = (768π) / 9 см²

Шаг 5: Вычисление отношения площадей

Теперь вычислим отношение площади правильного треугольника к площади круга:

Отношение = S / S_circle

Подставляем значения:

Отношение = (192√3) / ((768π) / 9)

Упрощаем:

• Отношение = (192√3 * 9) / 768π
• Отношение = (1728√3) / 768π
• Отношение = (72√3) / (32π)

Таким образом, отношение площади правильного треугольника к площади круга, вписанного в него, равно (72√3) / (32π).