В параллелограмме ABCD, где M - середина стороны CD, а N - точка на стороне AD, такая что AN:ND=1:2, как выразить векторы CN и MN через векторы b=BC и a=BA?

Геометрия 9 класс Векторы в геометрии параллелограмм ABCD середина стороны CD точка на стороне AD векторы CN и MN векторы b и a геометрия 9 класс Новый

Для решения этой задачи начнем с того, что обозначим векторы, которые нам известны. Пусть:

• A - начальная точка, тогда вектор AB = b, вектор AD = a.
• Так как ABCD - параллелограмм, то вектор BC также равен вектору AD, а вектор CD равен вектору AB.

Теперь определим координаты всех точек:

• Точка A имеет координаты (0, 0).
• Точка B имеет координаты (b_x, b_y), где b_x и b_y - компоненты вектора b.
• Точка D имеет координаты (a_x, a_y), где a_x и a_y - компоненты вектора a.
• Точка C, по свойствам параллелограмма, будет иметь координаты (b_x + a_x, b_y + a_y).

Теперь найдем координаты точек M и N:

1. Точка M - середина отрезка CD. Для нахождения ее координат используем формулу средней точки:
• Координаты C: (b_x + a_x, b_y + a_y)
• Координаты D: (a_x, a_y)
• Координаты M: ((b_x + a_x + a_x)/2, (b_y + a_y + a_y)/2) = ((b_x + 2a_x)/2, (b_y + 2a_y)/2).
2. Теперь найдем точку N. У нас задано отношение AN:ND = 1:2, что означает, что точка N делит отрезок AD в отношении 1:2. Это значит, что:
• Координаты N можно найти по формуле деления отрезка в заданном отношении:
• Координаты N: ((1 * a_x + 2 * 0) / (1 + 2), (1 * a_y + 2 * 0) / (1 + 2)) = (a_x / 3, a_y / 3).

Теперь мы можем выразить векторы CN и MN:

1. Для вектора CN:
• CN = N - C = (a_x / 3 - (b_x + a_x), a_y / 3 - (b_y + a_y)) = (-b_x + a_x / 3 - a_x, -b_y + a_y / 3 - a_y) = (-b_x - 2a_x / 3, -b_y - 2a_y / 3).
• Таким образом, CN = -b + (-2/3)a.
2. Для вектора MN:
• MN = N - M = (a_x / 3 - (b_x + 2a_x)/2, a_y / 3 - (b_y + 2a_y)/2) = (2a_x/6 - (3b_x + 2a_x)/6, 2a_y/6 - (3b_y + 2a_y)/6) = (-3b_x/6, -3b_y/6) = -1/2 b.

Таким образом, мы получили:

• Вектор CN = -b - (2/3)a.
• Вектор MN = -1/2 b.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как выразить векторы CN и MN через векторы b и a в параллелограмме ABCD.