В прямоугольном треугольнике abc, где угол c является прямым, проведена высота ch, равная 8 см. Какова длина гипотенузы, если один из острых углов равен 45 градусам?

Геометрия 9 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник высота гипотенуза угол 45 градусов длина стороны Новый

В данном случае мы имеем прямоугольный треугольник abc, где угол c является прямым, а один из острых углов равен 45 градусам. Это значит, что второй острый угол также равен 45 градусам, так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Таким образом, треугольник abc является равнобедренным, где катеты ab и ac равны между собой. Обозначим длину одного из катетов как a.

Поскольку в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит его на два меньших прямоугольных треугольника, мы можем использовать свойства этих треугольников для нахождения длины гипотенузы.

В нашем случае высота ch равна 8 см. В равнобедренном прямоугольном треугольнике, высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, умноженной на синус угла (в данном случае 45 градусов).

Сначала найдем длину гипотенузы:

1. Синус 45 градусов равен корень из 2 делить на 2 (или 1/√2).
2. Высота ch = a * (корень из 2 / 2), где a - длина одного из катетов.
3. Подставим известные значения: 8 = a * (корень из 2 / 2).
4. Теперь выразим a: a = 8 * (2 / корень из 2) = 16 / корень из 2.
5. Умножим и разделим на корень из 2, чтобы избавиться от иррациональности: a = 16 * (корень из 2 / 2) = 8 * корень из 2.

Теперь, чтобы найти гипотенузу, используем теорему Пифагора:

1. Гипотенуза c = корень из (a^2 + a^2) = корень из (2 * a^2) = a * корень из 2.
2. Подставим значение a: c = (8 * корень из 2) * корень из 2 = 8 * 2 = 16 см.

Таким образом, длина гипотенузы в данном треугольнике равна 16 см.