В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90 градусов. Один катет на 7 больше другого. Какова длина меньшего катета, если гипотенуза AB равна 17?

Геометрия 9 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник угол C катеты гипотенуза длина катета задача по геометрии Новый

Чтобы найти длину меньшего катета в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, а гипотенуза AB равна 17, давайте обозначим катеты следующим образом:

• Обозначим меньший катет как x.
• Тогда больший катет будет равен x + 7, так как он на 7 больше меньшего катета.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае это можно записать так:

AB^2 = AC^2 + BC^2

Подставим известные значения:

• Гипотенуза AB = 17, значит AB^2 = 17^2 = 289.
• Катеты: AC = x и BC = x + 7.

Теперь подставим это в уравнение:

289 = x^2 + (x + 7)^2

Раскроем скобки:

289 = x^2 + (x^2 + 14x + 49)

Сложим подобные члены:

289 = 2x^2 + 14x + 49

Теперь перенесем 289 на левую сторону уравнения:

0 = 2x^2 + 14x + 49 - 289

Это упростится до:

0 = 2x^2 + 14x - 240

Теперь упростим уравнение, разделив все его части на 2:

0 = x^2 + 7x - 120

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 7, c = -120.

Подставим значения:

D = 7^2 - 4 * 1 * (-120) = 49 + 480 = 529.

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:

x = (-b ± sqrt(D)) / (2a)

Подставляем значения:

x = (-7 ± sqrt(529)) / 2

Так как sqrt(529) = 23, то:

x = (-7 + 23) / 2 = 16 / 2 = 8

Или

x = (-7 - 23) / 2 = -30 / 2 = -15

Поскольку длина катета не может быть отрицательной, мы принимаем только положительное значение:

Меньший катет равен 8.

Таким образом, длина меньшего катета в прямоугольном треугольнике ABC равна 8.