5. Какова площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды PABCD, если ее объем равен 288 см^3, а двугранный угол при ребре основания пирамиды равен arccos(1/3)?

Математика 10 класс Объём и площадь фигур площадь боковой поверхности правильная четырехугольная пирамида объём пирамиды Двугранный угол математика задачи Новый

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды PABCD, нам нужно использовать данные, которые у нас есть: объем пирамиды и двугранный угол при ребре основания.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды.

Объем V правильной четырехугольной пирамиды можно выразить через площадь основания S и высоту h по формуле:

V = (1/3) * S * h.

Зная, что объем V равен 288 см³, мы можем выразить высоту h через площадь основания S:

h = (3 * V) / S = (3 * 288) / S = 864 / S.

Шаг 2: Найдем площадь основания.

Поскольку основание пирамиды является квадратом (это правильная четырехугольная пирамида), обозначим сторону квадрата как a. Площадь основания S тогда равна:

S = a^2.

Теперь подставим это значение в формулу для высоты:

h = 864 / a^2.

Шаг 3: Используем двугранный угол.

Двугранный угол при ребре основания пирамиды равен arccos(1/3). Это означает, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты h. В правильной четырехугольной пирамиде высота h, основание и боковая сторона образуют прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике:

• h - это противоположный катет;
• (a/2) - это прилежащий катет (половина стороны основания);
• l - это боковая сторона пирамиды (гипотенуза).

Согласно определению косинуса:

cos(угол) = (прилежащий катет) / (гипотенуза),

где угол равен arccos(1/3). Таким образом, мы имеем:

1/3 = (a/2) / l.

Отсюда можно выразить l:

l = (a/2) / (1/3) = (3a)/2.

Шаг 4: Найдем высоту h через l.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения h:

h^2 + (a/2)^2 = l^2.

Подставим l:

h^2 + (a/2)^2 = ((3a)/2)^2.

h^2 + (a/2)^2 = (9a^2)/4.

h^2 = (9a^2)/4 - (a^2)/4 = (8a^2)/4 = 2a^2.

Таким образом, h = sqrt(2) * a.

Шаг 5: Подставим h в формулу для объема.

Теперь подставим h в формулу для объема:

288 = (1/3) * a^2 * (sqrt(2) * a).

288 = (sqrt(2)/3) * a^3.

Отсюда:

a^3 = 288 * 3 / sqrt(2) = 864 / sqrt(2).

Теперь найдем a:

a = (864 / sqrt(2))^(1/3).

Шаг 6: Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности Sбок = 2 * периметр основания * высота / 2. Периметр основания равен 4a, и высота h равна sqrt(2) * a.

Таким образом:

Sбок = 2 * (4a) * (sqrt(2) * a) / 2 = 4a * sqrt(2) * a = 4 * sqrt(2) * a^2.

Теперь подставим a^2 из площади основания:

Sбок = 4 * sqrt(2) * (864 / sqrt(2))^(2/3).

В результате мы получаем площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды PABCD.

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна 4 * sqrt(2) * a^2, где a – сторона основания, которую можно найти из объема.