Как исследовать и построить график функции y=1/4x⁴-3/4x²?

По плану:

Математика 10 класс Графики функций исследование функции построение графика y=1/4x⁴-3/4x² анализ функции график математической функции Новый

Для исследования и построения графика функции y = (1/4)x⁴ - (3/4)x², мы можем следовать следующему плану:

1. Определение области определения функции.

   Функция является многочленом, и многочлены определены для всех значений x. Следовательно, область определения функции:

   Все действительные числа: x ∈ R.

2. Нахождение производной функции.

   Для анализа поведения функции, найдем ее первую производную:

   y' = (d/dx)((1/4)x⁴ - (3/4)x²) = x³ - (3/2)x.

3. Нахождение критических точек.

   Критические точки находятся при равенстве производной нулю:

   x³ - (3/2)x = 0.

   Факторизуем уравнение:

   x(x² - (3/2)) = 0.

   Отсюда получаем:

   • x = 0,
   • x = √(3/2),
   • x = -√(3/2).
4. Определение знаков производной.

   Теперь исследуем знак производной на промежутках, определенных критическими точками:

   • Для x < -√(3/2): производная положительна (функция возрастает);
   • Для -√(3/2) < x < 0: производная отрицательна (функция убывает);
   • Для 0 < x < √(3/2): производная отрицательна (функция убывает);
   • Для x > √(3/2): производная положительна (функция возрастает).
5. Нахождение значений функции в критических точках.

   Теперь подставим критические точки в исходную функцию:

   • y(0) = (1/4)(0)⁴ - (3/4)(0)² = 0;
   • y(√(3/2)) = (1/4)(√(3/2))⁴ - (3/4)(√(3/2))² = (1/4)(9/4) - (3/4)(3/2) = 9/16 - 9/8 = -9/16;
   • y(-√(3/2)) = (1/4)(-√(3/2))⁴ - (3/4)(-√(3/2))² = (1/4)(9/4) - (3/4)(3/2) = 9/16 - 9/8 = -9/16.
6. Нахождение предельных значений функции.

   Исследуем поведение функции при x → ±∞:

   • При x → +∞, y → +∞;
   • При x → -∞, y → +∞.
7. Построение графика функции.

   Теперь, имея информацию о критических точках, знаках производной и предельных значениях, мы можем построить график:

   График будет иметь минимум в точке (√(3/2), -9/16) и максимум в точке (0, 0). Функция убывает на промежутках (-√(3/2), 0) и (0, √(3/2)), и возрастает на промежутках (-∞, -√(3/2)) и (√(3/2), +∞).

Таким образом, мы исследовали функцию и можем построить ее график, учитывая все найденные характеристики.