На одном чертеже изображены графики четырёх функций вида y = x² + bx + c. Сколько точек пересечения этих графиков может быть?

Математика 10 класс Графики функций математика 10 класс графики функций точки пересечения функции вида y = x² + bx + c анализ графиков алгебра геометрия система уравнений количество решений Новый

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим, как могут пересекаться графики функций вида y = x² + bx + c, которые представляют собой параболы.

Парабола может иметь до двух точек пересечения с другой параболой, так как уравнение, полученное приравниванием двух квадратичных функций, является квадратным уравнением, которое может иметь до двух корней. Давайте разберем шаги, чтобы понять, сколько точек пересечения может быть у четырех таких парабол:

1. Приравнивание уравнений: Для нахождения точек пересечения двух парабол мы приравниваем их уравнения: x² + b₁x + c₁ = x² + b₂x + c₂.
2. Упрощение уравнения: Упростим уравнение, убрав x² с обеих сторон: b₁x + c₁ = b₂x + c₂, что далее упрощается до (b₁ - b₂)x = c₂ - c₁.
3. Решение линейного уравнения: Это линейное уравнение может иметь одно решение (если b₁ ≠ b₂) или бесконечно много решений (если b₁ = b₂ и c₁ = c₂, то есть параболы совпадают) или не иметь решений (если b₁ = b₂ и c₁ ≠ c₂, то есть параболы параллельны).

Теперь рассмотрим количество точек пересечения всех четырех парабол:

• Каждая пара парабол может пересекаться в 0, 1 или 2 точках.
• Всего существует C(4, 2) = 6 пар из 4 парабол (где C(n, k) - это число сочетаний).
• Максимально возможное количество точек пересечения всех пар парабол: 6 пар * 2 точки = 12 точек пересечения.

Таким образом, ответ на вопрос: максимально возможное количество точек пересечения графиков четырех парабол вида y = x² + bx + c равно 12.