Как можно получить уравнение радиуса окружности х²+у²+4х+2у-32=0, который проведен в точку А(4;-2), расположенную на этой окружности?

Математика 10 класс Уравнения окружности уравнение окружности радиус окружности точка на окружности математика 10 класс решение уравнения окружности Новый

Чтобы получить уравнение радиуса окружности, проведенного в точку A(4; -2), сначала нужно преобразовать данное уравнение окружности в стандартный вид. Уравнение окружности выглядит следующим образом:

x² + y² + 4x + 2y - 32 = 0

Шаг 1: Приведем уравнение к стандартному виду окружности (x - a)² + (y - b)² = r², где (a, b) - центр окружности, а r - радиус.

Для этого сначала сгруппируем x и y:

x² + 4x + y² + 2y = 32

Шаг 2: Теперь нужно завершить квадрат для x и y.

• Для x² + 4x:
  • Берем половину коэффициента перед x (4), делим на 2 и возводим в квадрат: (4/2)² = 4.
  • Добавляем и вычитаем 4 в уравнении.
• Для y² + 2y:
  • Берем половину коэффициента перед y (2), делим на 2 и возводим в квадрат: (2/2)² = 1.
  • Добавляем и вычитаем 1 в уравнении.

Теперь уравнение станет:

(x² + 4x + 4) + (y² + 2y + 1) = 32 + 4 + 1

Шаг 3: Преобразуем это уравнение:

(x + 2)² + (y + 1)² = 37

Теперь мы видим, что центр окружности (a, b) = (-2, -1) и радиус r = √37.

Шаг 4: Теперь найдем радиус окружности, проведенной в точку A(4; -2). Для этого используем формулу расстояния между двумя точками:

r = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Где (x1, y1) = (-2, -1) - центр окружности, а (x2, y2) = (4, -2) - точка A.

Подставим значения:

r = √((4 - (-2))² + (-2 - (-1))²)

Шаг 5: Вычислим:

• (4 + 2)² = 6² = 36
• (-2 + 1)² = (-1)² = 1

Теперь подставим в формулу:

r = √(36 + 1) = √37

Таким образом, радиус окружности, проведенный в точку A(4; -2), равен √37.

Итак, уравнение окружности с центром в точке (-2, -1) и радиусом √37 выглядит следующим образом:

(x + 2)² + (y + 1)² = 37