Как составить уравнение окружности с радиусом 8, если центр этой окружности расположен в точке пересечения прямых 3x + 4y + 23 = 0 и 5x - 2y - 31 = 0?

Математика 10 класс Уравнения окружности уравнение окружности радиус 8 центр окружности пересечение прямых 3x + 4y + 23 = 0 5x - 2y - 31 = 0 Новый

Чтобы составить уравнение окружности, нам нужно знать координаты центра окружности и радиус. В данном случае радиус равен 8, а центр окружности находится в точке пересечения двух прямых.

Давайте сначала найдем координаты точки пересечения прямых 3x + 4y + 23 = 0 и 5x - 2y - 31 = 0.

1. Запишем уравнения прямых:
• 3x + 4y + 23 = 0
• 5x - 2y - 31 = 0
2. Решим систему уравнений. Мы можем выразить одну переменную через другую. Например, выразим y из первого уравнения:
• 4y = -3x - 23
• y = (-3/4)x - 23/4
3. Теперь подставим это значение y во второе уравнение:
• 5x - 2((-3/4)x - 23/4) - 31 = 0
• 5x + (3/2)x + 23/2 - 31 = 0
• 5x + (3/2)x - 62/2 + 23/2 = 0
• (10/2)x + (3/2)x - 39/2 = 0
• (13/2)x - 39/2 = 0
• 13x - 39 = 0
• x = 3
4. Теперь найдем y, подставив x = 3 в выражение для y:
• y = (-3/4)(3) - 23/4
• y = -9/4 - 23/4
• y = -32/4
• y = -8

Таким образом, точка пересечения прямых, а следовательно, центр окружности имеет координаты (3, -8).

Теперь мы можем записать уравнение окружности. Уравнение окружности с центром в точке (x0, y0) и радиусом r имеет вид:

(x - x0)² + (y - y0)² = r²

В нашем случае:

• x0 = 3
• y0 = -8
• r = 8

Подставим значения в уравнение:

(x - 3)² + (y + 8)² = 8²

Таким образом, уравнение окружности будет:

(x - 3)² + (y + 8)² = 64

Это и есть искомое уравнение окружности.