Как привести уравнение окружности 9y² + 4x² + 18y + 8x - 31 = 0 к каноническому виду и определить радиус и координаты центра этой окружности?

Математика 10 класс Уравнения окружности уравнение окружности канонический вид радиус окружности координаты центра математика 10 класс Новый

Для того чтобы привести уравнение окружности к каноническому виду, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем это пошагово.

Дано уравнение окружности:

9y² + 4x² + 18y + 8x - 31 = 0

1. Приведем уравнение к стандартному виду.

• Сначала сгруппируем все члены с x и y:
• 4x² + 8x + 9y² + 18y - 31 = 0

2. Сделаем коэффициенты перед x² и y² равными 1.

• Для этого поделим все уравнение на 9:
• (4/9)x² + (8/9)x + y² + 2y - 31/9 = 0

3. Переносим свободный член на правую сторону:

• (4/9)x² + (8/9)x + y² + 2y = 31/9

4. Теперь мы будем завершать квадрат для x и y.

• Для x: (4/9)x² + (8/9)x
• Сначала вынесем 4/9: (4/9)(x² + 2x)
• Завершим квадрат: (x + 1)² - 1, тогда получаем:
• (4/9)((x + 1)² - 1) = (4/9)(x + 1)² - 4/9
• Для y: y² + 2y
• Завершим квадрат: (y + 1)² - 1, тогда получаем:
• (y + 1)² - 1

5. Подставляем завершенные квадраты в уравнение:

• (4/9)((x + 1)² - 1) + (y + 1)² - 1 = 31/9

6. Упрощаем уравнение:

• (4/9)(x + 1)² - 4/9 + (y + 1)² - 1 = 31/9
• (4/9)(x + 1)² + (y + 1)² = 31/9 + 4/9 + 1
• (4/9)(x + 1)² + (y + 1)² = 36/9
• (4/9)(x + 1)² + (y + 1)² = 4

7. Теперь умножим всё на 9, чтобы избавиться от дробей:

• 4(x + 1)² + 9(y + 1)² = 36

8. Теперь делим на 36, чтобы получить канонический вид:

• (x + 1)² / 9 + (y + 1)² / 4 = 1

Теперь у нас есть уравнение окружности в каноническом виде. Из него видно, что:

9. Определим центр и радиус окружности:

• Центр окружности (h, k) = (-1, -1)
• Радиус r = √(9) = 3

Таким образом, мы привели уравнение окружности к каноническому виду и определили:

• Центр окружности: (-1, -1)
• Радиус окружности: 3