Как можно построить график функции у=8х/(х^2+4)?

Математика 10 класс Построение графиков функций график функции построение графика математика 10 класс уравнение функции анализ графика Новый

Чтобы построить график функции у = 8x / (x^2 + 4), следуем нескольким шагам. Давайте разберем их подробнее:

1. Определение области определения функции:

Функция у = 8x / (x^2 + 4) определена для всех значений x, так как знаменатель (x^2 + 4) никогда не равен нулю. Это происходит потому, что x^2 всегда неотрицательно, и прибавление 4 делает его положительным.

2. Нахождение осей симметрии:

• Проверим, является ли функция четной или нечетной. Для этого подставим -x:
  • u(-x) = 8(-x) / ((-x)^2 + 4) = -8x / (x^2 + 4).
• Мы видим, что u(-x) = -u(x), следовательно, функция нечетная. Это значит, что график симметричен относительно начала координат.

3. Нахождение пределов:

Теперь найдем пределы функции при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности:

• lim (x → ∞) 8x / (x^2 + 4) = lim (x → ∞) 8 / (x + 4/x) = 0.
• lim (x → -∞) 8x / (x^2 + 4) = lim (x → -∞) 8 / (x + 4/x) = 0.

Это значит, что график функции будет стремиться к оси x (y=0) при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности.

4. Нахождение нулей функции:

Нули функции находятся, когда u = 0:

• 8x = 0, отсюда x = 0.

Таким образом, точка (0, 0) является точкой пересечения графика с осью x.

5. Нахождение производной:

Для того чтобы понять, как ведет себя функция, найдем ее производную:

• u' = ( (8)(x^2 + 4) - (8x)(2x) ) / (x^2 + 4)^2.
• u' = (8(x^2 + 4 - 2x^2)) / (x^2 + 4)^2 = (8(4 - x^2)) / (x^2 + 4)^2.

Теперь мы можем найти критические точки, приравняв производную к нулю:

• 8(4 - x^2) = 0, отсюда x^2 = 4, x = ±2.

6. Анализ критических точек:

Теперь проверим, как функция ведет себя в этих точках:

• Для x = -2: u(-2) = 8(-2) / ((-2)^2 + 4) = -16 / 8 = -2.
• Для x = 2: u(2) = 8(2) / (2^2 + 4) = 16 / 8 = 2.

7. Построение графика:

Теперь, имея все необходимые точки и информацию, мы можем построить график:

• Отметьте точку (0, 0).
• Отметьте точки (-2, -2) и (2, 2).
• Постройте асимптоты: график будет стремиться к оси x (y=0) при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности.
• С учетом симметрии, мы можем отразить все точки относительно начала координат.

В результате у нас получится график, который показывает, как функция у = 8x / (x^2 + 4) ведет себя на всей области определения.