Как можно решить систему линейных уравнений с использованием метода Крамера, если у нас есть такие уравнения:

1. 2x + y - z = 1
2. x + y + z = 8
3. y + 2z = 11

Математика 10 класс Системы линейных уравнений метод Крамера Система линейных уравнений решение уравнений математика 10 класс линейные уравнения 10 класс Новый

Метод Крамера позволяет решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Давайте рассмотрим вашу систему уравнений:

• 2x + y - z = 1
• x + y + z = 8
• y + 2z = 11

Сначала мы можем записать систему в матричной форме:

A * X = B,

где:

• A - матрица коэффициентов,
• X - вектор переменных,
• B - вектор свободных членов.

Матрица коэффициентов A будет выглядеть так:

A =

| 2  1 -1 |
| 1  1  1 |
| 0  1  2 |

Вектор переменных X:

X =

| x |
| y |
| z |

Вектор свободных членов B:

B =

|  1 |
|  8 |
| 11 |

Теперь нам нужно найти определитель матрицы A, обозначим его как D.

Определитель D можно вычислить по формуле:

D = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg),

где:

• a = 2, b = 1, c = -1,
• d = 1, e = 1, f = 1,
• g = 0, h = 1, i = 2.

Теперь подставим значения:

D = 2(1*2 - 1*1) - 1(1*2 - 1*0) + (-1)(1*1 - 1*0).

Вычислим:

• 1*2 - 1*1 = 2 - 1 = 1,
• 1*2 - 1*0 = 2 - 0 = 2,
• 1*1 - 1*0 = 1 - 0 = 1.

Теперь подставим эти значения в определитель:

D = 2(1) - 1(2) - 1(1) = 2 - 2 - 1 = -1.

Теперь, чтобы найти переменные x, y и z, нам нужно вычислить определители D_x, D_y и D_z.

D_x - определитель матрицы, полученной заменой первого столбца матрицы A на вектор B:

D_x =

| 1  1 -1 |
| 8  1  1 |
| 11 1  2 |

Вычислим D_x:

D_x = 1(1*2 - 1*1) - 1(8*2 - 1*11) + (-1)(8*1 - 1*11).

Вычислим:

• 1*2 - 1*1 = 1,
• 8*2 - 1*11 = 16 - 11 = 5,
• 8*1 - 1*11 = 8 - 11 = -3.

Теперь подставим:

D_x = 1(1) - 1(5) - 1(-3) = 1 - 5 + 3 = -1.

Теперь найдем D_y - определитель матрицы, полученной заменой второго столбца матрицы A на вектор B:

D_y =

| 2  1 -1 |
| 1  8  1 |
| 0  11 2 |

Вычислим D_y:

D_y = 2(8*2 - 1*11) - 1(1*2 - 1*0) + (-1)(1*11 - 8*0).

Вычислим:

• 8*2 - 1*11 = 16 - 11 = 5,
• 1*2 - 1*0 = 2 - 0 = 2,
• 1*11 - 8*0 = 11 - 0 = 11.

Теперь подставим:

D_y = 2(5) - 1(2) - 1(11) = 10 - 2 - 11 = -3.

Теперь найдем D_z - определитель матрицы, полученной заменой третьего столбца матрицы A на вектор B:

D_z =

| 2  1  1 |
| 1  1  8 |
| 0  1  11 |

Вычислим D_z:

D_z = 2(1*11 - 8*1) - 1(1*11 - 8*0) + 1(1*1 - 1*0).

Вычислим:

• 1*11 - 8*1 = 11 - 8 = 3,
• 1*11 - 8*0 = 11 - 0 = 11,
• 1*1 - 1*0 = 1 - 0 = 1.

Теперь подставим:

D_z = 2(3) - 1(11) + 1(1) = 6 - 11 + 1 = -4.

Теперь мы можем найти значения переменных:

• x = D_x / D = -1 / -1 = 1,
• y = D_y / D = -3 / -1 = 3,
• z = D_z / D = -4 / -1 = 4.

Таким образом, решение системы уравнений:

• x = 1,
• y = 3,
• z = 4.

Если у вас есть вопросы по каждому шагу, не стесняйтесь спрашивать!