Как можно решить систему уравнений, используя метод Гаусса?

5x - 3y + 4z = 6

2x - y - z = 0

x - 2y + z = 0

Математика 10 класс Системы линейных уравнений метод Гаусса система уравнений решение уравнений линейные уравнения математические методы алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить систему уравнений с помощью метода Гаусса, мы будем выполнять операции над строками для приведения матрицы к верхнетреугольному виду, а затем найдем значения переменных с помощью обратного подстановки. Давайте рассмотрим вашу систему уравнений:

• 5x - 3y + 4z = 6
• 2x - y - z = 0
• x - 2y + z = 0

Сначала запишем систему в виде расширенной матрицы:

[ 5 -3 4 | 6 ]
[ 2 -1 -1 | 0 ]
[ 1 -2 1 | 0 ]

Теперь будем приводить эту матрицу к верхнетреугольному виду. Начнем с первой строки и будем использовать её для обнуления элементов под первым элементом (5) в первом столбце.

1. Чтобы обнулить второй элемент (2) в первом столбце, мы можем умножить первую строку на 2/5 и вычесть из второй строки:

2 * (1-я строка) - (2-я строка):

[ 2*5 - 2 | 2*(-3) - (-1) | 2*4 - (-1) | 2*6 - 0 ] = [ 0 | 1 | 2 | 12 ]

2. Теперь мы обновим вторую строку:

[ 5 -3 4 | 6 ]
[ 0 1 2 | 12 ]
[ 1 -2 1 | 0 ]

3. Теперь обнулим третий элемент (1) в первом столбце. Для этого мы можем вычесть 1/5 первой строки из третьей:

-(1/5) * (1-я строка) + (3-я строка):

[ 1 - (1/5)*5 | -2 - (1/5)*(-3) | 1 - (1/5)*4 | 0 - (1/5)*6 ] = [ 0 | -7/5 | -3/5 | -6/5 ]

4. Теперь обновим третью строку:

[ 5 -3 4 | 6 ]
[ 0 1 2 | 12 ]
[ 0 -7/5 -3/5 | -6/5 ]

Теперь у нас есть верхнетреугольная матрица. Мы можем продолжить, чтобы упростить третью строку:

1. Умножим третью строку на -5/7, чтобы получить 1 в центре:

[ 0 | 1 | 2 | 12 ]
[ 0 | 1 | 2 | 12 ]
[ 0 | 1 | 3 | 6 ]

Теперь мы можем использовать обратную подстановку, чтобы найти значения переменных:

1. Начнем с третьей строки:

-7/5y - 3/5z = -6/5

Решим для z: z = 0.

2. Подставим z в 2-ю строку:

y + 2*0 = 12 => y = 12.

3. Теперь подставим y и z в 1-ю строку:

5x - 3*12 + 4*0 = 6 => 5x - 36 = 6 => 5x = 42 => x = 8.4.

Таким образом, решение системы уравнений:

• x = 8.4
• y = 12
• z = 0

Это и есть ответ на вашу систему уравнений, решенную методом Гаусса.