Как можно решить уравнение Cos2x cos3x = sin2x sin3x?

Математика 10 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения Cos2x cos3x sin2x sin3x тригонометрические уравнения математика учебник по математике Новый

Чтобы решить уравнение Cos2x cos3x = sin2x sin3x, мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями и преобразованиями. Давайте разберем это пошагово.

1. Используем тригонометрические идентичности:

   Мы можем воспользоваться формулой для произведения косинуса и синуса:

   sin A sin B = 1/2 (cos(A-B) - cos(A+B))

   и

   cos A cos B = 1/2 (cos(A+B) + cos(A-B))

2. Применяем формулы к нашему уравнению:

   Применим эти формулы к обеим сторонам уравнения:

   • Слева: Cos2x cos3x = 1/2 (cos(2x + 3x) + cos(2x - 3x)) = 1/2 (cos(5x) + cos(-x)) = 1/2 (cos(5x) + cos(x))
   • Справа: sin2x sin3x = 1/2 (cos(2x - 3x) - cos(2x + 3x)) = 1/2 (cos(-x) - cos(5x)) = 1/2 (cos(x) - cos(5x))
3. Записываем новое уравнение:

   Теперь у нас есть:

   1/2 (cos(5x) + cos(x)) = 1/2 (cos(x) - cos(5x))

   Умножаем обе стороны на 2:

   cos(5x) + cos(x) = cos(x) - cos(5x)

4. Упрощаем уравнение:

   Переносим все члены на одну сторону:

   cos(5x) + cos(5x) = cos(x) - cos(x)

   2cos(5x) = 0

5. Находим корни:

   Теперь мы можем решить это уравнение:

   cos(5x) = 0

   Это означает, что:

   5x = (2n + 1) * π/2, где n - целое число.

   Следовательно:

   x = (2n + 1) * π/10

Таким образом, общее решение уравнения Cos2x cos3x = sin2x sin3x имеет вид:

x = (2n + 1) * π/10, n ∈ Z