Как можно упростить выражение: (cos(a - PI/4)cos(PI/4 - a))/sin^2(a - PI/4)?

Математика 10 класс Тригонометрические функции Упрощение выражения математика 10 класс тригонометрические функции cos(a - PI/4) sin^2(a - PI/4) Новый

Для упрощения данного выражения начнем с его записи:

Упрощаем выражение:

(cos(a - PI/4) * cos(PI/4 - a)) / sin^2(a - PI/4)

1. Обратим внимание на тригонометрические идентичности. Мы знаем, что:

• cos(PI/4) = sin(PI/4) = √2/2.
• Также используем формулу косинуса разности: cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y).

2. Применим формулу к выражению cos(a - PI/4):

cos(a - PI/4) = cos(a)cos(PI/4) + sin(a)sin(PI/4) = (cos(a) + sin(a)) * √2/2.

3. Теперь рассмотрим cos(PI/4 - a):

cos(PI/4 - a) = cos(PI/4)cos(a) + sin(PI/4)sin(a) = (cos(a) + sin(a)) * √2/2.

4. Подставим эти значения обратно в выражение:

( (cos(a) + sin(a)) * √2/2 * (cos(a) + sin(a)) * √2/2 ) / sin^2(a - PI/4).

5. Упростим числитель:

( (cos(a) + sin(a))^2 * 2 / 4 ) / sin^2(a - PI/4).

6. Теперь упростим sin(a - PI/4):

sin(a - PI/4) = sin(a)cos(PI/4) - cos(a)sin(PI/4) = (sin(a) - cos(a)) * √2/2.

7. Подставим это значение в выражение:

sin^2(a - PI/4) = ((sin(a) - cos(a)) * √2/2)^2 = (sin(a) - cos(a))^2 * 2 / 4.

8. Теперь подставим это значение в знаменатель:

Таким образом, мы имеем:

( (cos(a) + sin(a))^2 * 2 / 4 ) / ( (sin(a) - cos(a))^2 * 2 / 4 ).

9. Упростим это выражение:

=(cos(a) + sin(a))^2 / (sin(a) - cos(a))^2.

10. В итоге, мы получаем:

Упрощенное выражение:

(cos(a) + sin(a))^2 / (sin(a) - cos(a))^2.

Это и будет окончательным результатом упрощения данного выражения.