Как можно вычислить площадь треугольника ABC, если заданы координаты его вершин A (1:-1:0), B (-1:-1:0) и C (1:-7:8)?

Математика 10 класс Геометрия в пространстве площадь треугольника координаты вершин вычисление площади треугольник ABC математика 10 класс Новый

Чтобы вычислить площадь треугольника ABC, заданного координатами его вершин в трехмерном пространстве, можно воспользоваться формулой, основанной на векторном произведении. Сначала найдем векторы, образующие стороны треугольника, а затем вычислим площадь с помощью векторного произведения.

Шаги решения:

1. Запишем координаты вершин:
   • A(1, -1, 0)
   • B(-1, -1, 0)
   • C(1, -7, 8)
2. Найдем векторы AB и AC:
   • Вектор AB = B - A = (-1 - 1, -1 - (-1), 0 - 0) = (-2, 0, 0)
   • Вектор AC = C - A = (1 - 1, -7 - (-1), 8 - 0) = (0, -6, 8)
3. Вычислим векторное произведение AB и AC:
   • Векторное произведение AB x AC можно найти по формуле:
   • AB x AC = |i j k|
   • |-2 0 0|
   • | 0 -6 8|
   • Вычисляем определитель:
   • i(0*8 - 0*(-6)) - j(-2*8 - 0*0) + k(-2*(-6) - 0*0)
   • Это дает: i(0) - j(-16) + k(12) = (0, 16, 12)
4. Находим длину векторного произведения:
   • Длина векторного произведения равна:
   • |AB x AC| = sqrt(0^2 + 16^2 + 12^2) = sqrt(0 + 256 + 144) = sqrt(400) = 20
5. Вычисляем площадь треугольника:
   • Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения:
   • Площадь = (1/2) * |AB x AC| = (1/2) * 20 = 10

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 10 единицам площади.