Как решить уравнение 19*4^(x) - 5*2^(x+2) + 1 = 0 и какие корни этого уравнения находятся в диапазоне [-5; -4]?

Математика 10 класс Уравнения с переменной в показателе уравнение решение уравнения корни уравнения математика 10 класс 19*4^(x) 5*2^(x+2) диапазон корней математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение 19*4^(x) - 5*2^(x+2) + 1 = 0, начнем с преобразования выражений, чтобы упростить уравнение.

Мы знаем, что 4^(x) можно выразить через 2^(x), так как 4 = 2^2. Таким образом, 4^(x) = (2^2)^(x) = 2^(2x).

Подставим это в уравнение:

• 19*4^(x) становится 19*2^(2x).
• 5*2^(x+2) можно переписать как 5*2^(x)*2^2 = 20*2^(x).

Теперь у нас есть следующее уравнение:

192^(2x) - 202^(x) + 1 = 0

Далее, введем замену: y = 2^(x). Тогда 2^(2x) = (2^(x))^2 = y^2. Подставим это в уравнение:

19y^2 - 20y + 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 19, b = -20, c = 1.

Сначала найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4191 = 400 - 76 = 324

Теперь подставим значение дискриминанта в формулу:

y = (20 ± √324) / (2*19)

Вычислим корни:

• √324 = 18.
• y1 = (20 + 18) / 38 = 38 / 38 = 1.
• y2 = (20 - 18) / 38 = 2 / 38 = 1/19.

Теперь у нас есть два значения для y: y1 = 1 и y2 = 1/19.

Возвращаемся к переменной x: так как y = 2^(x), получаем:

• Для y1 = 1: 2^(x) = 1 → x = 0.
• Для y2 = 1/19: 2^(x) = 1/19 → x = log2(1/19) = -log2(19).

Теперь определим, какие из корней находятся в диапазоне [-5; -4].

Корень x = 0 не входит в указанный диапазон. Теперь рассмотрим x = -log2(19). Чтобы проверить, находится ли этот корень в диапазоне, вычислим -log2(19).

Приблизительно log2(19) ≈ 4.25, следовательно, -log2(19) ≈ -4.25, что действительно находится в диапазоне [-5; -4].

Таким образом, единственный корень уравнения, который находится в диапазоне [-5; -4], это x = -log2(19).