Как решить уравнение 8*16^x - 6*4^x + 1 = 0?

Математика 10 класс Уравнения с переменной в показателе уравнение решение уравнения математика 8*16^x 6*4^x алгебра математические задачи нахождение корней Новый

Чтобы решить уравнение 8*16^x - 6*4^x + 1 = 0, начнем с преобразования выражений, чтобы упростить уравнение.

Заметим, что 16 можно выразить через 4:

• 16 = 4^2

Следовательно, 16^x можно переписать как:

• 16^x = (4^2)^x = 4^(2x)

Теперь подставим это в оригинальное уравнение:

8*16^x = 8*4^(2x)

Таким образом, уравнение становится:

84^(2x) - 64^x + 1 = 0

Теперь сделаем замену переменной. Пусть y = 4^x. Тогда 4^(2x) = (4^x)^2 = y^2.

Теперь уравнение принимает вид:

8y^2 - 6y + 1 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 8, b = -6, c = 1.

Подставим значения a, b и c в формулу:

• b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4*8*1 = 36 - 32 = 4

Теперь найдем корни:

• y = (6 ± √4) / (2*8)
• y = (6 ± 2) / 16

Теперь найдем два значения для y:

• y1 = (6 + 2) / 16 = 8 / 16 = 1/2
• y2 = (6 - 2) / 16 = 4 / 16 = 1/4

Теперь вернемся к нашей замене y = 4^x:

• 4^x = 1/2
• 4^x = 1/4

Решим каждое из уравнений:

• Для 4^x = 1/2: x = log4(1/2) = log4(4^(-1/2)) = -1/2
• Для 4^x = 1/4: x = log4(1/4) = log4(4^(-1)) = -1

Таким образом, мы получили два решения:

• x1 = -1/2
• x2 = -1

Ответ: x = -1/2 и x = -1.