Для решения уравнения 2sin^2 x + 7cos x + 2 = 0, мы сначала воспользуемся тригонометрической тождественностью, которая связывает синус и косинус:

Шаг 1: Замена переменных

• Мы знаем, что sin^2 x = 1 - cos^2 x. Подставим это в уравнение:

2(1 - cos^2 x) + 7cos x + 2 = 0

Шаг 2: Упрощение уравнения

• Раскроем скобки:

2 - 2cos^2 x + 7cos x + 2 = 0

Шаг 3: Приведение подобный членов

• Соберем все члены в одном уравнении:

-2cos^2 x + 7cos x + 4 = 0

Шаг 4: Умножение на -1

• Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

2cos^2 x - 7cos x - 4 = 0

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

• Теперь это квадратное уравнение относительно cos x. Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

cos x = [ -b ± sqrt(b^2 - 4ac) ] / 2a, где a = 2, b = -7, c = -4.

Шаг 6: Подставляем значения

• Вычислим дискриминант:

D = (-7)^2 - 4 * 2 * (-4) = 49 + 32 = 81

Шаг 7: Находим корни

• Теперь подставим в формулу:

cos x = [7 ± sqrt(81)] / (2 * 2)

cos x = [7 ± 9] / 4

• Первый корень:

cos x = (7 + 9) / 4 = 16 / 4 = 4 (не подходит, так как косинус не может быть больше 1)

• Второй корень:

cos x = (7 - 9) / 4 = -2 / 4 = -0.5

Шаг 8: Находим углы

• Теперь нам нужно найти значения x, для которых cos x = -0.5. Это происходит в следующих квадрантах:

x = 120° + 360°k и x = 240° + 360°k, где k - целое число.

Шаг 9: Записываем ответ

• Таким образом, общее решение уравнения:

x = 120° + 360°k и x = 240° + 360°k, где k - любое целое число.