Как решить уравнение 7sin2x + 3cos2x + 7 = 0?

Математика 10 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения Тригонометрия 10 класс математика 7sin2x 3cos2x уравнение с синусом уравнение с косинусом Новый

Для решения уравнения 7sin2x + 3cos2x + 7 = 0, давайте начнем с его преобразования.

Шаг 1: Переносим 7 на правую сторону уравнения:

• 7sin2x + 3cos2x = -7

Шаг 2: Теперь мы можем выразить cos2x через sin2x, используя основное тригонометрическое тождество:

• sin²(2x) + cos²(2x) = 1
• cos²(2x) = 1 - sin²(2x)

Шаг 3: Подставим cos2x в уравнение:

• 7sin2x + 3(1 - sin²(2x)) = -7

Шаг 4: Раскроем скобки:

• 7sin2x + 3 - 3sin²(2x) = -7

Шаг 5: Переносим все в одну сторону:

• 3sin²(2x) - 7sin2x - 10 = 0

Шаг 6: Теперь это квадратное уравнение относительно sin2x. Обозначим sin2x как t:

• 3t² - 7t - 10 = 0

Шаг 7: Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 3 * (-10) = 49 + 120 = 169

Шаг 8: Найдем корни уравнения:

• t₁ = (7 + √169) / (2 * 3) = (7 + 13) / 6 = 20 / 6 = 10 / 3
• t₂ = (7 - √169) / (2 * 3) = (7 - 13) / 6 = -6 / 6 = -1

Шаг 9: Теперь вернемся к переменной sin2x:

• sin2x = 10 / 3 (это значение не подходит, так как синус не может быть больше 1)
• sin2x = -1

Шаг 10: Теперь решим уравнение sin2x = -1. Синус равен -1 при:

• 2x = 3π/2 + 2kπ, где k - целое число

Шаг 11: Разделим обе стороны на 2:

• x = 3π/4 + kπ, где k - целое число

Таким образом, общее решение уравнения 7sin2x + 3cos2x + 7 = 0 будет:

• x = 3π/4 + kπ, где k - целое число