Как решить уравнение: 9 в степени х минус 3 в степени х плюс 1 равно 54?

Математика 10 класс Уравнения с переменной в показателе уравнение 9 в степени х 3 в степени х решение уравнения математика 10 класс алгебра exponentiation математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение 9^x - 3^x + 1 = 54, начнем с упрощения его. Обратите внимание, что 9 можно выразить через 3:

• 9 = 3^2, поэтому 9^x = (3^2)^x = 3^(2x).

Теперь перепишем уравнение, подставив это выражение:

3^(2x) - 3^x + 1 = 54

Далее, сделаем замену переменной. Пусть y = 3^x. Тогда 3^(2x) = (3^x)^2 = y^2. Подставим это в уравнение:

y^2 - y + 1 = 54

Теперь перенесем 54 на левую сторону уравнения:

y^2 - y + 1 - 54 = 0

Упростим это уравнение:

y^2 - y - 53 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = -1, c = -53. Подставим значения:

• b^2 = (-1)^2 = 1
• 4ac = 4 * 1 * (-53) = -212
• Дискриминант: D = 1 - (-212) = 1 + 212 = 213.

Теперь подставим дискриминант в формулу:

y = (1 ± √213) / 2

Теперь найдем два возможных значения для y:

• y1 = (1 + √213) / 2
• y2 = (1 - √213) / 2

Поскольку y = 3^x, а 3^x всегда положительно, мы отбрасываем y2, так как оно будет отрицательным. Теперь найдем y1:

y1 = (1 + √213) / 2

Теперь вернемся к переменной x:

3^x = (1 + √213) / 2

Чтобы найти x, применим логарифм:

x = log3((1 + √213) / 2)

Таким образом, мы получили значение x. Это и будет решением нашего уравнения.